Le spectre de l'hydrogène

Exercice de TD · niveau 2 · optique géométrique (MPSI), chapitre 1 — Lumière, rayon lumineux et indice · A. Sources lumineuses et spectre

Énoncé

Les raies visibles émises par une lampe à hydrogène vérifient la formule de Balmer (on l'admet ; son origine relève de la physique quantique) : $\frac{1}{λ _{0}} = R_{H} (\frac{1}{4} - \frac{1}{n ^{2}}), n \in {3, 4, 5, \dots}, R_{H} = 1, 097 \times 1 0^{7} m^{- 1} .$

1) Calculer $λ_{0}$ pour $n = 3$ à $7$ . Lesquelles de ces raies sont visibles, et de quelle couleur ?

2) Montrer que les raies se resserrent quand $n$ croît, et calculer la longueur d'onde limite de la série. Dans quel domaine se trouve-t-elle ?

3) Les nébuleuses d'hydrogène ionisé paraissent rouges sur les photographies astronomiques. Pourquoi ?

4) Le spectre du Soleil est continu, mais il présente des raies sombres à $656, 3$ nm, $486, 1$ nm et $589, 0$ / $589, 6$ nm. Interpréter : quelle différence entre un spectre d'émission et un spectre d'absorption ? Quels éléments l'atmosphère solaire contient-elle ?

5) Une lampe inconnue montre des raies à $404, 7$ ; $435, 8$ ; $546, 1$ ; $577, 0$ et $579, 1$ nm. Est-ce une lampe à hydrogène ? Quelle précision en longueur d'onde le spectroscope doit-il avoir pour trancher sur la seule raie voisine de $435$ nm ?

Corrigé

La stratégie. Le programme demande de « caractériser une source par son spectre » et de « relier la longueur d'onde dans le vide à la couleur ». On fait les deux sur l'exemple historique : on calcule les raies, on les place sur l'échelle du visible (de 400 nm, violet, à 800 nm, rouge, figure du cours), puis on utilise ces raies comme une empreinte.

1) Les cinq premières raies. On calcule $λ_{0} = \frac{1}{R _{H} ( 1/4 - 1/ n ^{2} )}$ :

$n$	$1/4 - 1/ n^{2}$	$λ_{0}$ (nm)	domaine
3	$5/36$	$656, 3$	rouge
4	$3/16$	$486, 2$	bleu-vert (cyan)
5	$21/100$	$434, 1$	bleu-violet
6	$2/9$	$410, 2$	violet
7	$45/196$	$397, 0$	limite du violet, presque ultraviolet

Quatre raies sont nettement visibles ( $n = 3$ à $6$ ) ; la cinquième est au bord du domaine visible, et l'œil ne la perçoit pratiquement plus. Vérification sur la première : $R_{H} \times 5/36 = 1, 524 \times 1 0^{6} m^{- 1}$ , dont l'inverse vaut $6, 563 \times 1 0^{- 7}$ m. Homogénéité : $R_{H}$ est l'inverse d'une longueur, la parenthèse est sans dimension, donc $1/ λ_{0}$ est bien l'inverse d'une longueur.

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