Problème : le sténopé optimal (Rayleigh)

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · optique géométrique (MPSI), chapitre 1 — Lumière, rayon lumineux et indice · B. Le modèle de l'optique géométrique

Énoncé

Un sténopé est une boîte fermée, de profondeur $D = 20$ cm, percée sur une face d'un petit trou circulaire de diamètre $d$ ; l'image se forme sur la face opposée (écran ou film). On prend $λ = 550$ nm. On admet, comme dans le cours, qu'un faisceau parallèle qui traverse une ouverture de diamètre $d$ s'étale, par diffraction, dans un cône de demi-angle $θ \approx λ / d$ . Le diamètre apparent du Soleil vaut $α_{⊙} = 9, 3 \times 1 0^{- 3}$ rad.

1) Image géométrique. Par la propagation rectiligne, montrer que l'image d'un objet est renversée, et que son grandissement vaut $- D / p$ pour un objet à la distance $p$ du trou (trou supposé ponctuel). Calculer la taille de l'image d'un arbre de $6, 0$ m situé à $30$ m, puis le diamètre de l'image du Soleil. Sous un arbre, les taches de soleil projetées au sol par les trouées du feuillage, situées à environ $5$ m de hauteur, sont rondes et mesurent environ $5$ cm, quelle que soit la forme des trouées. Expliquer.

2) Flou géométrique. Le trou a maintenant un diamètre $d$ . Montrer que l'image d'un point à l'infini, dans le modèle de l'optique géométrique, est une tache de diamètre $d$ ; et que, pour un point à distance finie $p$ , elle vaut $d (1 + D / p)$ . Que gagne-t-on à réduire le trou ?

3) Flou de diffraction. Montrer que la diffraction étale l'image d'un point à l'infini sur une largeur d'environ $2 λ D / d$ . Que perd-on à réduire le trou ?

4) L'optimum. On modélise la taille totale de la tache par $s (d) = d + \frac{2 λ D}{d}$ . Établir le diamètre optimal $d^{*}$ et la tache minimale $s_{m i n}$ , et les calculer. Lord Rayleigh, par un critère plus fin, trouve $d_{R} \approx 1, 9 λ D$ : comparer.

5) Ce que vaut un sténopé. Calculer la résolution angulaire $s_{m i n} / D$ du sténopé optimal et la comparer à celle de l'œil (environ une minute d'arc, $3 \times 1 0^{- 4}$ rad). Comparer la tache au diamètre de l'image du Soleil. Calculer le rapport $D / d^{*}$ (le « nombre d'ouverture ») et en tirer une conséquence sur la durée de pose.

6) Homogénéité, cas limites et résultat. Vérifier l'homogénéité de $d^{*}$ . Que devient $d^{*}$ dans la limite $λ \to 0$ ? Comment la résolution angulaire varie-t-elle avec la profondeur de la boîte ? Énoncer le résultat obtenu.

Corrigé

La stratégie. Deux effets se disputent la netteté de l'image : la propagation rectiligne veut un trou petit (chaque point de l'objet n'éclaire qu'une petite tache), la diffraction veut un trou grand (une petite ouverture étale la lumière). Chacun donne un flou qui varie en sens contraire avec $d$ ; on écrit leur somme et l'on cherche le minimum. C'est la même structure qu'à l'exercice 3 : deux effets antagonistes, un optimum.

1) L'image géométrique, renversée. Chaque point $B$ de l'objet n'envoie dans la boîte que le rayon qui passe par le trou $O$ (trou ponctuel) ; ce rayon est une droite, qui coupe l'écran en un point $B^{'}$ . Les points $B$ , $O$ , $B^{'}$ sont alignés, $O$ entre les deux : le haut de l'objet donne le bas de l'image, la gauche donne la droite. L'image est renversée. Pour un objet de hauteur $H$ à la distance $p$ , les triangles de sommet commun $O$ sont semblables (Thalès), et l'image a la hauteur $H D / p$ , de sens opposé : le grandissement algébrique vaut $γ = - \frac{D}{p} .$ Pour l'arbre : $h = 6, 0 \times \frac{0 , 20}{30} = 4, 0$ cm. Pour le Soleil, l'image a le diamètre angulaire de l'objet vu du trou, multiplié par la distance trou-écran : $ϕ_{⊙} = D α_{⊙} = 0, 20 \times 9, 3 \times 1 0^{- 3} = 1, 9 mm .$ Les taches de soleil : chaque petite trouée du feuillage est un sténopé, et le sol est son écran, à $5$ m. Tant que la trouée est petite devant l'image qu'elle produit, la tache au sol est l'image du Soleil, pas l'ombre de la trouée : un disque de diamètre $5 \times 9, 3 \times 1 0^{- 3} = 4, 7$ cm, rond quelle que soit la forme du trou. Pendant une éclipse partielle, toutes ces taches deviennent des croissants : c'est la preuve la plus spectaculaire qu'il s'agit d'images.

2) Le flou géométrique. Un point à l'infini envoie un faisceau de rayons parallèles ; le trou de diamètre $d$ en laisse passer un cylindre de diamètre $d$ , qui frappe l'écran en une tache de diamètre $d$ . Pour un point $B$ à distance finie $p$ , les rayons issus de $B$ qui passent par le trou forment un cône de sommet $B$ ; sur l'écran, à la distance $p + D$ de $B$ , ce cône a le diamètre (Thalès) $d \frac{p + D}{p} = d (1 + \frac{D}{p})$ . Dans les deux cas, le flou géométrique est proportionnel à $d$ : réduire le trou affine l'image. C'est la discussion qualitative du cours, rendue quantitative.

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