Rømer et les éclipses de Io

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · optique géométrique (MPSI), chapitre 1 — Lumière, rayon lumineux et indice · B. Le modèle de l'optique géométrique

Énoncé

Io, satellite de Jupiter, disparaît dans l'ombre de la planète à intervalles réguliers : sa période orbitale vaut $P_{0} = 1, 769$ jour. En 1676, Ole Rømer remarque que les éclipses observées depuis la Terre arrivent en retard sur les prévisions quand la Terre s'éloigne de Jupiter, en avance quand elle s'en rapproche. On néglige le mouvement de Jupiter sur son orbite (elle en fait le tour en douze ans, la Terre en un an). La Terre parcourt son orbite, supposée circulaire de rayon $1 UA = 1, 496 \times 1 0^{11}$ m, à la vitesse $v = 29, 8 km s^{- 1}$ .

1) On note $t_{k} = t_{0} + k P_{0}$ l'instant où se produit la $k$ -ième éclipse, et $d_{k}$ la distance Terre-Jupiter à l'instant de son observation. Exprimer l'instant d'observation $t_{k}^{'}$ , puis l'intervalle $P_{k}^{'} = t_{k}^{'} - t_{k - 1}^{'}$ entre deux éclipses observées.

2) Pendant une période $P_{0}$ , la distance varie de $d_{k} - d_{k - 1} \approx v_{r} P_{0}$ , où $v_{r}$ est la vitesse d'éloignement de la Terre par rapport à Jupiter. En déduire $P_{k}^{'} \approx P_{0} (1 + \frac{v _{r}}{c})$ . Calculer l'allongement maximal de la période apparente. Était-il mesurable en 1676 ?

3) Montrer que le cumul des retards sur les éclipses observées entre l'opposition (Terre au plus près de Jupiter) et la conjonction suivante, six mois plus tard, ne dépend que de la variation totale de distance. Le calculer, en secondes.

4) Le retard cumulé mesuré au dix-septième siècle était d'environ $1000$ s pour un diamètre d'orbite de $3, 0 \times 1 0^{11}$ m. En déduire $c$ .

5) Rømer avait en fait estimé le retard à 22 minutes, et Huygens en tira la première valeur numérique de $c$ . Laquelle ? Commenter.

Corrigé

La stratégie. Io est une horloge : elle « bat » toutes les $P_{0}$ . Mais on ne lit cette horloge qu'à distance, avec un signal qui met un temps $d / c$ à arriver. Si la distance change entre deux battements, l'intervalle entre deux battements reçus n'est plus $P_{0}$ . C'est l'exercice du cours sur la vitesse finie, mais traité comme un problème de signal : on écrit l'instant de réception.

1) Instants d'observation. La lumière de la $k$ -ième éclipse part de Jupiter à $t_{k}$ et parcourt $d_{k}$ à la vitesse $c$ : $t_{k}^{'} = t_{k} + \frac{d _{k}}{c} = t_{0} + k P_{0} + \frac{d _{k}}{c}, P_{k}^{'} = t_{k}^{'} - t_{k - 1}^{'} = P_{0} + \frac{d _{k} - d _{k - 1}}{c} .$ L'intervalle reçu diffère de l'intervalle émis par le temps que met la lumière à franchir le supplément de distance accumulé en une période.

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