Cône d'acceptance d'une fibre à saut d'indice

Exercice de TD · niveau 2 · optique géométrique (MPSI), chapitre 5 — Instruments : l'œil, l'appareil photographique et la fibre optique · C. La fibre optique à saut d'indice

Énoncé

Une fibre à saut d'indice est formée d'un cœur cylindrique d'indice $n_{1}$ entouré d'une gaine d'indice $n_{2} < n_{1}$ . Sa face d'entrée, plane et perpendiculaire à l'axe, est dans un milieu d'indice $n_{0}$ . Un rayon arrive sur la face d'entrée, en un point de l'axe, sous l'angle $θ$ avec l'axe, dans un plan contenant l'axe ; il se réfracte dans le cœur sous l'angle $r$ .

1) À quelle condition le rayon est-il guidé, c'est-à-dire totalement réfléchi à l'interface cœur-gaine ? Montrer qu'elle équivaut à $cos r \geq n_{2} / n_{1}$ .

2) En déduire que les rayons guidés sont ceux qui entrent dans un cône de demi-angle $θ_{a}$ tel que $n_{0} sin θ_{a} = n_{1}^{2} - n_{2}^{2},$ quantité qu'on appelle ouverture numérique $ON$ de la fibre. Montrer que $ON \approx 2 n_{1} (n_{1} - n_{2})$ quand $n_{1} - n_{2} ≪ n_{1}$ .

3) Applications numériques dans l'air pour $n_{1} = 1, 50$ et $n_{2} = 1, 48$ : $ON$ , $θ_{a}$ , angle maximal $r_{m a x}$ dans le cœur, angle limite cœur-gaine.

4) La même fibre est plongée dans l'eau ( $n_{0} = 1, 33$ ). Que devient $θ_{a}$ ?

5) Un barreau de verre nu ( $n_{1} = 1, 50$ ) est entouré d'air ( $n_{2} = 1$ ). Que donne la formule ? Montrer directement que tout rayon entré par la face d'entrée est guidé. Et si le barreau nu est plongé dans l'eau ?

6) Sous quel angle maximal la lumière ressort-elle de la face de sortie (perpendiculaire à l'axe) ?

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Les lois de Snell-Descartes et la condition de réflexion totale du chapitre 2 : à une interface d'un milieu d'indice $n_{1}$ vers un milieu d'indice $n_{2} < n_{1}$ , la réflexion est totale si l'angle d'incidence $i$ vérifie $sin i \geq n_{2} / n_{1}$ . La stratégie : enchaîner la réfraction d'entrée et la réflexion totale, en reliant les deux angles par la géométrie du cœur.

1) La condition de guidage. Dans un plan contenant l'axe, le rayon réfracté fait l'angle $r$ avec l'axe ; la paroi du cœur est parallèle à l'axe, donc sa normale est perpendiculaire à l'axe. L'angle d'incidence sur la paroi est le complémentaire : $i = 9 0^{\circ} - r$ . Réflexion totale : $sin i \geq \frac{n _{2}}{n _{1}} ⟺ sin (9 0^{\circ} - r) \geq \frac{n _{2}}{n _{1}} ⟺ cos r \geq \frac{n _{2}}{n _{1}} .$ Après réflexion, le rayon repart sous le même angle $r$ avec l'axe et frappe la paroi opposée sous la même incidence : la condition, vérifiée une fois, l'est à toutes les réflexions. Le rayon zigzague jusqu'à la sortie sans rien perdre — si la condition échoue, il perd une fraction de sa puissance dans la gaine à chaque rebond, des milliers de fois par mètre, et disparaît.

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, avec les autres exercices du chapitre et le tuteur qui guide sans donner la réponse.

Voir le corrigé complet

Le cours du chapitre · Les autres exercices du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.