Construire la profondeur de champ ; distance hyperfocale

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · optique géométrique (MPSI), chapitre 5 — Instruments : l'œil, l'appareil photographique et la fibre optique · B. L'appareil photographique

Énoncé

L'objectif est une lentille mince de centre $O$ et de focale $f^{'}$ , diaphragmée au diamètre $D = f^{'} / N$ (le diaphragme est contre la lentille). La mise au point est faite sur un point $A_{0}$ de l'axe, à la distance $d_{0}$ de la lentille : le capteur est à la distance $p^{'} = O A_{0}^{'}$ de la lentille, où $A_{0}^{'}$ est l'image de $A_{0}$ . Un point $A$ de l'axe, à la distance $d$ , a pour image $A^{'}$ . On tolère sur le capteur une tache de diamètre au plus $c$ (cercle de confusion).

1) Construire géométriquement, pas à pas, la tache laissée sur le capteur par un point $A$ plus lointain que $A_{0}$ , puis par un point plus proche. Montrer que son diamètre vaut $δ = D \frac{O A ^{'} - p ^{'}}{O A ^{'}} .$

2) En utilisant la relation de Descartes, montrer que $δ = D p^{'} \frac{1}{d} - \frac{1}{d _{0}}$ . En déduire que les points jugés nets sont exactement ceux dont la proximité $1/ d$ vérifie $\frac{1}{d _{0}} - \frac{c}{D p ^{'}} \leq \frac{1}{d} \leq \frac{1}{d _{0}} + \frac{c}{D p ^{'}} .$

3) On veut que la limite lointaine soit l'infini. Montrer qu'il faut faire la mise au point sur la distance hyperfocale $H = f^{'} + \frac{f ^{'2}}{N c},$ et que tout est alors net de $H /2$ à l'infini (exactement). Applications numériques : $f^{'} = 50 mm$ , $N = 8$ , $c = 0, 030 mm$ . Comparer avec la formule approchée $f^{'2} / (N c)$ .

4) Comparer avec une mise au point sur l'infini. Comment varie $H$ quand on ferme le diaphragme ?

5) Portrait à $d_{0} = 3 m$ , $c = 0, 030 mm$ : calculer la profondeur de champ pour $f^{'} = 50 mm$ à $N = 2$ , à $N = 8$ , puis pour $f^{'} = 100 mm$ à $N = 2$ . Conclure sur l'influence du diaphragme et de la focale.

6) Smartphone : $f^{'} = 4, 25 mm$ , $N = 1, 8$ , $c = 5 μ m$ (le cercle de confusion est réduit dans le rapport des tailles de capteur). Calculer $H$ et commenter.

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La méthode de construction de la profondeur de champ du cours, le théorème de Thalès dans les triangles semblables, la relation de Descartes. La stratégie : la construction donne une formule exacte pour la tache ; Descartes la réécrit en proximités, où tout devient linéaire ; la distance hyperfocale en sort sans aucune approximation.

1) La construction de la tache. On trace l'axe, la lentille avec son diaphragme de diamètre $D$ , et le capteur à la distance $p^{'}$ .

Le point de mise au point. De $A_{0}$ , on trace les deux rayons qui s'appuient sur les bords du diaphragme ; après la lentille, ils convergent en $A_{0}^{'}$ , sur le capteur : point net.
Un point plus lointain $A$ ( $d > d_{0}$ ). Son image $A^{'}$ est plus proche de la lentille que le capteur (l'image d'un objet qui s'éloigne se rapproche de $F^{'}$ ). Les deux rayons extrêmes, issus des bords du diaphragme, convergent en $A^{'}$ , avant le capteur, puis divergent et découpent sur le capteur un segment : la tache.
Un point plus proche ( $d < d_{0}$ ). Son image est au-delà du capteur ; le cône, intercepté avant d'avoir convergé, découpe aussi une tache.

Le calcul. Dans les deux cas, le cône lumineux a pour sommet $A^{'}$ et pour base le diaphragme, de diamètre $D$ , à la distance $O A^{'}$ du sommet. Le capteur le coupe à la distance $∣ O A^{'} - p^{'} ∣$ du sommet. Par Thalès (triangles semblables de même sommet $A^{'}$ ) : $\frac{δ}{D} = \frac{O A ^{'} - p ^{'}}{O A ^{'}}, δ = D \frac{O A ^{'} - p ^{'}}{O A ^{'}} .$ C'est la figure du cours : $P_{1}^{'}$ avant le capteur, $P_{2}^{'}$ après, et deux taches de même diamètre $c$ aux deux limites.

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