Corriger un œil : myope, presbyte

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · optique géométrique (MPSI), chapitre 5 — Instruments : l'œil, l'appareil photographique et la fibre optique · A. L'œil

Énoncé

On reprend le modèle de l'exercice 1 et la notion de proximité $1/ D$ d'un objet situé à la distance $D$ de l'œil. Une lentille de correction de vergence $V_{c}$ est placée contre l'œil (lentille de contact, centre confondu avec $O$ ) ; elle donne d'un objet $A$ une image intermédiaire $A_{1}$ , que l'œil regarde.

1) Un œil myope a son PR à $50 cm$ et son PP à $12 cm$ . Donner sa plage d'accommodation en proximités et son amplitude. Pourquoi « voit-il bien de près » ?

2) Montrer que la proximité de $A_{1}$ vaut celle de $A$ diminuée de $V_{c}$ . En déduire que la lentille translate la plage d'accommodation (en proximités) de $V_{c}$ , sans changer sa largeur.

3) Quelle vergence permet au myope de voir l'infini net sans accommoder ? Lentille convergente ou divergente ? Interpréter par une construction : où doit se trouver le foyer image de la lentille ? Où est alors le PP corrigé ?

4) On corrige le même œil par des lunettes placées à $2 cm$ devant lui. Quelle vergence faut-il ? Comparer pour un myope fort dont le PR est à $10 cm$ .

5) À cinquante ans, un œil sans autre défaut (PR à l'infini) n'a plus qu'une amplitude d'accommodation de $1 δ$ . Où est son PP ? On lui prescrit des verres de lecture de vergence $+ 3 δ$ (on les assimile à des lentilles contre l'œil) : entre quelles distances voit-il net avec ces verres ? Pourquoi les verres progressifs ?

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La relation de conjugaison de Descartes pour la lentille de correction, puis la condition de vision nette de l'exercice 1 pour l'œil : c'est une association de deux lentilles minces traitée par deux conjugaisons successives (l'image donnée par la première est l'objet de la seconde). La stratégie : tout traduire en proximités, où la correction devient une simple translation.

1) La plage du myope. Proximités extrêmes : $1/ D_{P R} = 1/0, 50 = 2, 0 δ$ et $1/ D_{P P} = 1/0, 12 = 8, 33 δ$ . Il voit net les objets dont la proximité est dans $[2, 0 δ; 8, 33 δ]$ , et son amplitude vaut $A = 8, 33 - 2, 0 = 6, 33 δ$ . Son PP, à $12 cm$ , est plus proche que celui de l'œil normal ( $25 cm$ ) : il lit sans peine à dix centimètres. Sa plage est décalée vers les grandes proximités, pas rétrécie : c'est de loin qu'il est gêné.

2) La lentille translate la plage. Pour la lentille de correction, de centre $O$ , la relation de Descartes s'écrit $\frac{1}{O A _{1}} - \frac{1}{O A} = V_{c} .$ Avec $O A = - D_{A}$ et $O A_{1} = - D_{A_{1}}$ (l'image intermédiaire est du côté de l'objet, virtuelle pour la lentille, et c'est un objet réel pour l'œil), cela donne $- \frac{1}{D _{A_{1}}} + \frac{1}{D _{A}} = V_{c}, soit \frac{1}{D _{A_{1}}} = \frac{1}{D _{A}} - V_{c} .$ L'œil voit net $A_{1}$ si et seulement si $\frac{1}{D _{P R}} \leq \frac{1}{D _{A_{1}}} \leq \frac{1}{D _{P P}}$ , c'est-à-dire $\frac{1}{D _{P R}} + V_{c} \leq \frac{1}{D _{A}} \leq \frac{1}{D _{P P}} + V_{c} .$ La plage corrigée est la plage d'origine translatée de $V_{c}$ ; sa largeur, l'amplitude $A$ , est inchangée. Aucune lentille ne rend à l'œil de l'accommodation : elle ne fait que déplacer la fenêtre.

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