Fibre courbée : rayon de courbure minimal

Application directe du cours · niveau 3 (difficile) · optique géométrique (MPSI), chapitre 5 — Instruments : l'œil, l'appareil photographique et la fibre optique

Énoncé

Une fibre à saut d'indice a un cœur de rayon $a = 50 μ m$ , d'indice $n_{1} = 1, 50$ , et une gaine d'indice $n_{2} = 1, 48$ . On la courbe en arc de cercle : l'axe de la fibre a pour rayon de courbure $R$ , de centre $C$ . On raisonne dans le plan de la courbure, où le cœur est la couronne comprise entre les cercles de centre $C$ et de rayons $R - a$ (paroi intérieure) et $R + a$ (paroi extérieure). Dans la partie droite qui précède, la lumière se propage parallèlement à l'axe ; un rayon entre dans la partie courbe à la distance $ρ$ de $C$ , avec $R - a \leq ρ \leq R + a$ .

1) Faire la figure. Montrer que ce rayon frappe la paroi extérieure sous l'incidence $i$ telle que $sin i = ρ / (R + a)$ .

2) Montrer qu'après réflexion il frappe de nouveau la paroi extérieure, sous la même incidence, et qu'il ne touche jamais la paroi intérieure : la condition de guidage se lit sur la première réflexion.

3) Quel rayon est le plus défavorisé ? En déduire que tous les rayons restent guidés si et seulement si

$R \geq R_{m i n} = a \frac{n _{1} + n _{2}}{n _{1} - n _{2}} .$

Application numérique.

4) Pour $R = 5 mm$ , quelle fraction de la largeur du cœur (dans le plan de la figure) correspond à des rayons perdus ?

5) Cas limites : que devient $R_{m i n}$ si $n_{2} \to n_{1}$ ? si $a \to 0$ ? Calculer $R_{m i n}$ pour une fibre de télécommunication ( $a = 25 μ m$ , $n_{1} = 1, 462$ , $n_{2} = 1, 457$ ). Conclure sur le compromis avec l'ouverture numérique.

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La condition de réflexion totale, la loi de la réflexion, et de la géométrie plane : la distance d'un point à une droite, la symétrie d'un cercle par rapport à un diamètre. La stratégie : caractériser chaque rayon par sa distance au centre $C$ , qui se conserve à la réflexion sur un cercle de centre $C$ .

1) La première incidence. La figure. On trace le centre $C$ , les deux cercles de rayons $R - a$ et $R + a$ , et la section d'entrée de la partie courbe, qui est un segment d'un rayon du cercle (la partie droite se raccorde tangentiellement à l'arc). À l'entrée, le rayon lumineux est parallèle à l'axe de la partie droite, donc perpendiculaire à ce segment, en un point situé à la distance $ρ$ de $C$ . Il continue en ligne droite dans le cœur, s'écarte de $C$ , et rencontre la paroi extérieure en un point $M$ , avec $C M = R + a$ .

Le calcul. La droite portée par le rayon est perpendiculaire en un point situé à la distance $ρ$ de $C$ au segment issu de $C$ : la distance de $C$ à cette droite vaut $ρ$ . Au point $M$ , la normale à la paroi est le rayon $C M$ du cercle. Dans le triangle rectangle formé par $C$ , $M$ et le pied $K$ de la perpendiculaire issue de $C$ , l'angle en $M$ est l'angle d'incidence $i$ (entre le rayon lumineux et la normale $M C$ ), et

$sin i = \frac{C K}{C M} = \frac{ρ}{R + a} .$

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