Focale, champ et focale équivalente

Application directe du cours · niveau 2 · optique géométrique (MPSI), chapitre 5 — Instruments : l'œil, l'appareil photographique et la fibre optique

Énoncé

On modélise un objectif par une lentille mince convergente de focale $f^{'}$ , réglée sur l'infini, et l'on note $α$ (petit) le diamètre apparent d'un objet très éloigné, centré sur l'axe.

1) Montrer, par une construction utilisant un foyer secondaire, que l'image de cet objet a pour taille $f^{'} α$ sur le capteur.

2) Un reflex « plein format » a un capteur de $36 \times 24 mm$ et un objectif de focale $f^{'} = 50 mm$ . Calculer le champ angulaire horizontal et le champ selon la diagonale.

3) Un smartphone a un capteur de $5, 6 \times 4, 2 mm$ et un objectif de focale $f^{'} = 4, 25 mm$ . On appelle « focale équivalente 24 × 36 » la focale qui donnerait le même champ diagonal sur un capteur plein format. La calculer.

4) La Lune a un diamètre apparent de $0, 5 2^{\circ}$ . Quelle est la taille de son image avec chacun des deux appareils ? Combien de photosites couvre-t-elle en diamètre sur le smartphone (photosites de $1, 0 μ m$ ) ?

5) Quelle focale faudrait-il pour que la Lune occupe toute la hauteur ( $24 mm$ ) du capteur plein format ? Conclure : pourquoi un smartphone a-t-il plusieurs objectifs, et pourquoi le « zoom numérique » ne remplace-t-il pas un téléobjectif ?

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Les propriétés du centre optique (rayon non dévié) et des foyers secondaires : un faisceau parallèle incliné converge en un point du plan focal image, le foyer secondaire, situé sur le rayon qui passe par $O$ . La stratégie : une seule construction donne toute la loi « taille de l'image $= f^{'} \times$ angle », le reste en découle.

1) La construction, pas à pas. Le bord supérieur $B$ de l'objet, très éloigné, envoie sur l'objectif un faisceau de rayons parallèles entre eux, faisant l'angle $α /2$ avec l'axe. Premier rayon : celui qui passe par le centre optique $O$ , non dévié ; il coupe le plan focal image (le capteur, puisqu'on est réglé sur l'infini) en un point $B^{'}$ . Deuxième rayon : un rayon du même faisceau qui frappe la lentille ailleurs ; parallèle au premier, il converge, après la lentille, vers le foyer image secondaire associé à cette direction, qui est précisément $B^{'}$ . Tout le faisceau issu de $B$ se concentre donc en $B^{'}$ : c'est l'image de $B$ . Dans le triangle rectangle $O F^{'} B^{'}$ , $F^{'} B^{'} = f^{'} tan (α /2) \approx f^{'} α /2$ . Le bord inférieur donne de même un point symétrique, et la taille de l'image vaut

$h^{'} = f^{'} α (α en radians, petit) .$

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