Œil réduit et amplitude d'accommodation

Exercice de TD · niveau 2 · optique géométrique (MPSI), chapitre 5 — Instruments : l'œil, l'appareil photographique et la fibre optique · A. L'œil

Énoncé

On modélise l'œil par une lentille mince convergente de centre $O$ et de vergence $V$ variable (cornée et cristallin), et par un capteur plan fixe, la rétine, situé à la distance $d = O A^{'} = 17 mm$ derrière la lentille. Pour un objet ponctuel $A$ sur l'axe, on note $D_{A} = - O A > 0$ sa distance à l'œil.

1) Rappeler la définition du punctum remotum (PR) et du punctum proximum (PP). Montrer que l'œil voit net l'objet $A$ si et seulement si $V = \frac{1}{d} + \frac{1}{D _{A}} .$ Calculer la vergence $V_{\infty}$ de l'œil normal au repos (PR à l'infini), et sa vergence $V_{P P}$ lorsqu'il regarde son PP, à $25 cm$ .

2) On appelle amplitude d'accommodation la différence $A = V_{P P} - V_{P R}$ . Montrer que $A = \frac{1}{D _{P P}} - \frac{1}{D _{P R}}$ et que ce nombre ne dépend pas de $d$ . Le calculer pour l'œil normal, puis pour un enfant qui voit net dès $8 cm$ .

3) Où est le foyer image $F^{'}$ de l'œil au repos ? Lorsque l'œil regarde son PP, calculer sa distance focale et le déplacement de $F^{'}$ . Vérifier le résultat par la relation de Newton.

4) Un œil est trop long de $0, 5 mm$ ( $d = 17, 5 mm$ ), avec le même cristallin au repos ( $V = V_{\infty}$ calculée en 1). Où est son PR ? Conclure.

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le modèle de l'œil du cours (lentille de vergence variable, rétine fixe) et la relation de conjugaison de Descartes, $\frac{1}{O A ^{'}} - \frac{1}{O A} = V$ , ainsi que la relation de Newton $F A \cdot F^{'} A^{'} = - f^{'2}$ . La stratégie est de remarquer que la seule grandeur qui varie quand l'objet se déplace est $1/ O A$ , et de raisonner sur elle.

1) La condition de vision nette. Le punctum remotum est le point le plus éloigné vu net sans accommoder (vergence minimale) ; le punctum proximum est le point le plus proche vu net en accommodant au maximum (vergence maximale). L'œil voit net $A$ lorsque l'image $A^{'}$ est sur la rétine, c'est-à-dire $O A^{'} = d$ . La relation de Descartes s'écrit alors, avec $O A = - D_{A}$ : $V = \frac{1}{d} - \frac{1}{O A} = \frac{1}{d} + \frac{1}{D _{A}} .$ Au repos, l'œil normal voit l'infini : $1/ D_{A} = 0$ et $V_{\infty} = \frac{1}{0 , 017 m} = 58, 8 δ \approx 59 δ .$ Au PP, $D_{A} = 0, 25 m$ : $V_{P P} = 58, 8 + \frac{1}{0 , 25} = 58, 8 + 4, 0 = 62, 8 δ \approx 63 δ .$ Ordre de grandeur. Une soixantaine de dioptries : l'œil est un système très convergent (focale de l'ordre de $17 mm$ ).

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