Limite de résolution angulaire de l'œil

Exercice de TD · niveau 2 · optique géométrique (MPSI), chapitre 5 — Instruments : l'œil, l'appareil photographique et la fibre optique · A. L'œil

Énoncé

On admet que l'œil sépare deux points dont l'écart angulaire dépasse $α_{m i n} = 1^{'}$ (une minute d'arc). La rétine est à $17 mm$ du centre optique.

1) Convertir $α_{m i n}$ en radians. Quelle distance sépare, sur la rétine, les images de deux points vus sous l'angle $α_{m i n}$ ? Les cônes de la fovéa (zone centrale de la rétine) sont espacés d'environ $2, 5 μ m$ (donnée) : commenter.

2) On admet (livre des ondes) qu'une ouverture circulaire de diamètre $D$ étale un faisceau parallèle de longueur d'onde $λ$ sur un angle de l'ordre de $λ / D$ . Calculer cet angle pour une pupille de $3 mm$ et $λ = 550 nm$ . Comparer à $α_{m i n}$ .

3) À quelle distance maximale distingue-t-on deux traits distants de $1 mm$ ? Quel est le plus petit détail visible à $25 cm$ ?

4) Les deux phares d'une voiture sont distants de $1, 40 m$ . Jusqu'à quelle distance les voit-on séparés ? À $5 km$ , que voit-on ?

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. L'approximation des petits angles ( $tan α \approx α$ en radians) et le rayon passant par le centre optique, non dévié. La stratégie : traduire la limite angulaire en une taille sur le détecteur, puis la comparer aux deux limites physiques, le grain du capteur et la diffraction.

1) La traduction sur la rétine. Une minute d'arc vaut $α_{m i n} = \frac{1}{60} \times \frac{π}{180} = 2, 9 \times 1 0^{- 4} rad \approx 3 \times 1 0^{- 4} rad .$ Construction. Les rayons issus de chacun des deux points et passant par le centre optique $O$ ne sont pas déviés ; ils font entre eux l'angle $α$ et vont frapper la rétine en deux points $A_{1}^{'}$ , $A_{2}^{'}$ . Par les petits angles, la distance de ces points vaut $δ = α O A^{'} = 2, 9 \times 1 0^{- 4} \times 17 mm = 4, 9 μ m \approx 5 μ m .$ C'est deux espacements de cônes : pour que deux points soient perçus séparés, il faut au moins un cône peu éclairé entre deux cônes éclairés. La limite angulaire de l'œil est donc celle qu'impose le grain de son capteur. C'est la capacité « relier le stigmatisme approché aux caractéristiques d'un détecteur », appliquée à l'œil.

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