Mise au point et tirage

Application directe du cours · niveau 2 · optique géométrique (MPSI), chapitre 5 — Instruments : l'œil, l'appareil photographique et la fibre optique

Énoncé

Un objectif est modélisé par une lentille mince convergente de focale $f^{'} = 50 mm$ , devant un capteur plan. La mise au point consiste à translater l'objectif ; on appelle tirage la distance $F^{'} A^{'}$ dont il faut écarter l'objectif du capteur par rapport au réglage sur l'infini.

1) Montrer, à l'aide de la relation de Newton, que le tirage nécessaire pour un objet à la distance $D_{A}$ de la lentille vaut

$F^{'} A^{'} = \frac{f ^{'2}}{D _{A} - f ^{'}} .$

Calculer le tirage pour $D_{A} = 2 m$ . Comparer avec la relation de Descartes, puis avec l'approximation $f^{'2} / D_{A}$ .

2) La monture permet un tirage maximal de $5 mm$ . Quelle est la distance minimale de mise au point ? Quel est alors le grandissement ?

3) Cas limites : que vaut le tirage pour un objet à l'infini ? pour un objet à la distance $2 f^{'}$ ? Commenter.

4) L'objectif d'un smartphone a une focale $f^{'} = 4, 25 mm$ . Calculer le tirage pour $D_{A} = 2 m$ . Pourquoi les premiers téléphones et les webcams pouvaient-ils se passer de mise au point ?

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Les relations de conjugaison de Descartes et de Newton (les deux sont exigibles) et le grandissement de Newton, $γ = - F^{'} A^{'} / f^{'} = - f^{'} / F A$ . La stratégie : le tirage est par définition une distance comptée depuis le foyer image, et la position de l'objet se compte naturellement depuis le foyer objet. C'est le cas d'école où Newton s'impose.

1) Le tirage. Réglé sur l'infini, le capteur est dans le plan focal image, en $F^{'}$ . Pour un objet à distance finie, l'image $A^{'}$ est au-delà de $F^{'}$ , et il faut que le capteur soit en $A^{'}$ : on écarte l'objectif de $F^{'} A^{'}$ . L'objet est en $O A = - D_{A}$ et $O F = - f^{'}$ , donc $F A = O A - O F = - (D_{A} - f^{'})$ . La relation de Newton donne directement

$F^{'} A^{'} = - \frac{f ^{'2}}{F A} = \frac{f ^{'2}}{D _{A} - f ^{'}} .$

Pour $D_{A} = 2000 mm$ :

$F^{'} A^{'} = \frac{5 0 ^{2}}{2000 - 50} = \frac{2500}{1950} = 1, 28 mm .$

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