Nombre d'ouverture, durée d'exposition, flou de bougé

Exercice de TD · niveau 2 · optique géométrique (MPSI), chapitre 5 — Instruments : l'œil, l'appareil photographique et la fibre optique · B. L'appareil photographique

Énoncé

L'objectif (focale $f^{'}$ ) est muni d'un diaphragme circulaire de diamètre $D$ ; on définit le nombre d'ouverture $N = f^{'} / D$ . On photographie un objet éloigné.

1) Le flux lumineux qui entre dans l'objectif est proportionnel à l'aire de la pupille d'entrée (le disque de diamètre $D$ ). L'image d'une petite zone de l'objet de diamètre apparent donné $α$ a, un diamètre $f^{'} α$ (on admet cette loi : le rayon qui passe par le centre optique n'est pas dévié, et l'image d'un objet éloigné se forme dans le plan focal image). En déduire que l'éclairement du capteur (flux reçu par unité de surface) est proportionnel à $1/ N^{2}$ , et que l'énergie reçue par unité de surface pendant la durée d'exposition $t$ est proportionnelle à $t / N^{2}$ .

2) Les bagues des objectifs portent la suite $1, 4 - 2 - 2, 8 - 4 - 5, 6 - 8 - 11 - 16$ . Justifier cette progression.

3) Une cellule indique une exposition correcte à $N = 8$ , $t = 1/125 s$ . Quelle durée donne la même exposition à $N = 2, 8$ ?

4) On photographie, avec $f^{'} = 50 mm$ , un cycliste roulant à $36 km h^{- 1}$ perpendiculairement à l'axe, à $20 m$ de l'appareil. Les photosites mesurent $6 μ m$ . Calculer la vitesse de l'image sur le capteur, puis la durée d'exposition maximale pour que le flou de bougé ne dépasse pas un photosite.

5) En partant du réglage de la question 3, quel nombre d'ouverture impose cette durée ? Quelle conséquence sur la profondeur de champ (voir l'exercice 5) ?

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La loi $h^{'} = f^{'} α$ (objet éloigné de diamètre apparent $α$ : chaque bord est vu sous l'angle $α /2$ , et le rayon qui passe par $O$ , non dévié, coupe le plan focal image à $f^{'} α /2$ de l'axe) et le grandissement d'une lentille mince. La notion d'éclairement est donnée par l'énoncé : on ne fait que des rapports de flux et d'aires. La stratégie : un raisonnement par proportionnalité, sans aucune photométrie.

1) L'éclairement en $1/ N^{2}$ . Le flux qui traverse l'objectif est proportionnel à l'aire du diaphragme, $π D^{2} /4$ , donc à $D^{2}$ . Ce flux est réparti sur l'image de la zone, un disque de diamètre $f^{'} α$ , d'aire proportionnelle à $f^{'2}$ . L'éclairement, quotient des deux, vérifie $E \propto \frac{D ^{2}}{f ^{'2}} = \frac{1}{N ^{2}} .$ L'énergie reçue par unité de surface, $E t$ , est donc proportionnelle à $t / N^{2}$ . Le nombre d'ouverture est la seule grandeur qui compte : deux objectifs de focales différentes ouverts au même $N$ donnent le même éclairement — c'est pourquoi on gradue les objectifs en $N$ et non en $D$ .

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