Problème : dispersion intermodale et débit maximal d'une fibre à saut d'indice

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · optique géométrique (MPSI), chapitre 5 — Instruments : l'œil, l'appareil photographique et la fibre optique · C. La fibre optique à saut d'indice

Énoncé

Une fibre à saut d'indice rectiligne, de longueur $L$ , a un cœur d'indice $n_{1}$ et une gaine d'indice $n_{2} < n_{1}$ . Une impulsion lumineuse très brève est injectée à l'entrée ; elle contient des rayons de toutes les inclinaisons $r$ (dans le cœur, par rapport à l'axe) compatibles avec le guidage. On note $c = 3, 0 \times 1 0^{8} m s^{- 1}$ la vitesse de la lumière dans le vide. Applications numériques : $n_{1} = 1, 50$ , $n_{2} = 1, 48$ .

1) Calculer la durée de parcours $t_{m i n}$ du rayon qui se propage le long de l'axe. A.N. pour $L = 1 km$ .

2) Montrer qu'un rayon guidé d'inclinaison $r$ parcourt la longueur $L / cos r$ , quel que soit le nombre de ses réflexions. En utilisant la condition de guidage de l'exercice 6, en déduire la durée de parcours $t_{m a x}$ du rayon guidé le plus incliné : $t_{m a x} = \frac{L n _{1}^{2}}{n _{2} c} .$

3) En déduire l'élargissement $Δ t = t_{m a x} - t_{m i n}$ de l'impulsion (dispersion intermodale). Vérifier l'homogénéité ; étudier le cas limite $n_{2} \to n_{1}$ ; calculer $Δ t$ pour $L = 1 km$ . Pourquoi le rayon strictement axial, à lui seul, ne disperse-t-il pas ?

4) On transmet des bits sous forme d'impulsions émises à la cadence $B$ (en bits par seconde). Justifier le critère $B ≲ 1/Δ t$ . Montrer que le produit $B L$ ne dépend que des indices. Calculer le débit maximal sur $1 km$ , et la longueur maximale d'une liaison à $100$ mégabits par seconde.

5) Montrer que $Δ t \approx \frac{L ON ^{2}}{2 n _{2} c}$ , où $ON$ est l'ouverture numérique. Comparer une fibre avec $n_{2} = 1, 48$ et une fibre avec $n_{2} = 1, 49$ (même $n_{1}$ ). Quel compromis cela révèle-t-il ?

6) Une liaison transocéanique mesure $L = 6000 km$ . Calculer $Δ t$ et le débit maximal avec cette fibre. Conclure et énoncer le résultat établi.

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La vitesse de la lumière $c / n$ dans un milieu d'indice $n$ (chapitre 1), la condition de guidage $cos r \geq n_{2} / n_{1}$ établie à l'exercice 6. La stratégie : les rayons vont tous à la même vitesse $c / n_{1}$ , mais pas sur la même longueur ; l'écart des longueurs donne l'écart des durées.

1) Le rayon axial. Il parcourt la longueur $L$ à la vitesse $c / n_{1}$ : $t_{m i n} = \frac{L n _{1}}{c} .$ Pour $L = 1 km$ : $t_{m i n} = \frac{1 0 ^{3} \times 1 , 50}{3 , 0 \times 1 0 ^{8}} = 5, 0 \times 1 0^{- 6} s$ , cinq microsecondes.

2) Le rayon le plus incliné. La longueur parcourue. Un rayon d'inclinaison $r$ avance, entre deux réflexions, d'une longueur $ℓ$ le long de son trajet et de $ℓ cos r$ le long de l'axe. La réflexion sur une paroi parallèle à l'axe conserve l'angle $r$ avec l'axe : sur chaque segment du zigzag, le rapport « longueur parcourue sur avancée axiale » vaut $1/ cos r$ . En sommant sur tous les segments (le dernier, éventuellement incomplet, compris), pour une avancée axiale totale $L$ , la longueur parcourue vaut $ℓ_{tot} = \frac{L}{cos r},$ indépendamment du nombre de réflexions et du point d'entrée.

La durée. La durée de parcours $\frac{L n _{1}}{c cos r}$ croît avec $r$ ; elle est maximale pour le rayon guidé le plus incliné, $cos r_{m a x} = n_{2} / n_{1}$ : $t_{m a x} = \frac{L n _{1}}{c cos r _{m a x}} = \frac{L n _{1}}{c} \cdot \frac{n _{1}}{n _{2}} = \frac{L n _{1}^{2}}{n _{2} c} .$ Pour $L = 1 km$ : $t_{m a x} = 5, 0 \times 1 0^{- 6} \times 1, 50/1, 48 = 5, 068 \times 1 0^{- 6} s$ .

3) La dispersion intermodale. $Δ t = t_{m a x} - t_{m i n} = \frac{L n _{1}}{c} (\frac{n _{1}}{n _{2}} - 1) = \frac{L n _{1} ( n _{1} - n _{2} )}{n _{2} c} .$ Homogénéité. Une longueur divisée par une vitesse, multipliée par un nombre sans dimension : une durée. Cas limite. $n_{2} \to n_{1}$ : $Δ t \to 0$ , mais aussi $r_{m a x} \to 0$ et $ON \to 0$ — plus de dispersion, parce que plus aucun rayon incliné n'est guidé. Application numérique pour $L = 1 km$ : $Δ t = \frac{1 0 ^{3} \times 1 , 50 \times 0 , 02}{1 , 48 \times 3 , 0 \times 1 0 ^{8}} = 6, 76 \times 1 0^{- 8} s \approx 68 ns,$ soixante-huit nanosecondes par kilomètre, à comparer aux cinq microsecondes du trajet : un écart relatif de $1, 35 %$ , égal à $(n_{1} - n_{2}) / n_{2}$ .

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