Le dioptre partage l'énergie : reflets

La stratégie. Les lois de Snell-Descartes disent où vont les rayons réfléchi et réfracté ; elles ne disent pas combien de lumière part dans chacun. La formule donnée répond à cette seconde question. On l'exploite comme une loi physique : on en vérifie les symétries, les cas limites, puis on additionne les contributions.

1) Quelques valeurs. Pour air/verre, $R={\left(\frac{0,50}{2,50}\right)}^2=0,040$ : 4 %. Pour air/eau, ${\left(\frac{0,33}{2,33}\right)}^2=2,0\%$. Pour air/diamant, ${\left(\frac{1,42}{3,42}\right)}^2=17,2\%$. Pour eau/verre, ${\left(\frac{0,17}{2,83}\right)}^2=0,36\%$. La formule est symétrique dans l'échange $n_1\leftrightarrow n_2$ (le carré efface le signe) : $R$ est le même dans les deux sens. C'est cohérent avec le retour inverse, qui dit que les trajets sont les mêmes dans les deux sens ; ici la symétrie va plus loin, puisqu'elle porte sur les puissances. Lecture : le diamant renvoie plus de quatre fois plus de lumière que le verre par sa seule surface, ce qui contribue à son éclat (avec la réflexion totale, voir les exercices résolus).

2) La baguette invisible. Quand $n_2\to n_1$, $R\to 0$ et, par Snell-Descartes, $i_2\to i_1$ : il n'y a plus ni rayon réfléchi ni déviation. Or on ne voit un objet transparent que par ces deux effets — les reflets sur sa surface et la déformation de ce qu'on voit à travers. Pyrex et glycérine ayant le même indice, la surface de la baguette n'est plus un dioptre au sens optique : elle disparaît. Le point délicat : un dioptre est défini par une différence d'indice, pas par une différence de matière.

3) La vitre et ses réflexions multiples. Sans réflexions multiples : la lumière traverse la première face (fraction $1-R$), puis la seconde (encore $1-R$) : $T_1=(1-R{)}^2=0,96^2=92,16\%$. Avec toutes les réflexions : une partie de la lumière arrivée à la seconde face est réfléchie, revient à la première, est à nouveau réfléchie, puis ressort : elle a subi deux réflexions de plus, d'où un facteur $R^2$. Le $k$-ième faisceau émergent a subi $2k$ réflexions internes : $$T=(1-R{)}^2\left(1+R^2+R^4+\cdots \right)=\frac{(1-R{)}^2}{1-R^2}=\frac{1-R}{1+R}.$$ (On additionne les puissances et non les champs : on suppose la vitre assez épaisse et la lumière assez peu cohérente pour qu'il n'y ait pas d'interférences.) Numériquement, $T=0,96/1,04=92,31\%$, contre $92,16\%$ : les réflexions multiples ne changent $T$ que de $0,15$ point, parce que chaque aller-retour coûte un facteur $R^2=1,6\times 10^{-3}$. Elles sont négligeables pour une vitre ; elles ne le seraient plus pour des surfaces très réfléchissantes. La vitre réfléchit au total $1-T=\frac{2R}{1+R}=7,7\%$.

4) Le reflet du soir. L'œil reçoit $T{E}_{\text{ext}}$ de la rue et $(1-T)E_{\text{int}}$ de la pièce, en notant $E$ les luminosités. Le reflet domine si $$(1-T)E_{\text{int}}>T{E}_{\text{ext}}⟺\frac{E_{\text{ext}}}{E_{\text{int}}}<\frac{1-T}{T}=\frac{2R}{1-R}=\frac{0,077}{0,923}\approx \frac{1}{12}.$$ Le soir, la rue est des centaines de fois moins lumineuse que la pièce éclairée : on voit son reflet. En plein jour, c'est l'inverse, l'extérieur est bien plus lumineux que l'intérieur, et les $7,7\%$ réfléchis sont noyés dans les $92\%$ transmis. La vitre réfléchit autant le jour que la nuit ; seul le contraste change. C'est le principe des « miroirs sans tain » des salles d'interrogatoire : pièce d'observation sombre, pièce observée éclairée.

5) L'objectif et l'antireflet. En négligeant les réflexions multiples (justifié au 3)), chaque surface transmet $96\%$ : $$0,96^{12}=0,61,0,96^{20}=0,44.$$ Un objectif de six lentilles perdrait $39\%$ de la lumière, un zoom de dix lentilles plus de la moitié ; et cette lumière perdue n'est pas absorbée : elle rebondit entre les surfaces et se répand sur le capteur en un voile qui détruit le contraste. Un traitement antireflet ramène $R$ à environ $0,5\%$ par surface : $0,995^{20}=90\%$. Sans traitement antireflet, les zooms modernes seraient inutilisables.

Ce que l'exercice installe. Réflexion et réfraction coexistent toujours ; la réflexion totale (fin du chapitre) est le cas où le rayon réfracté disparaît et où toute la puissance part dans le réfléchi. Un dioptre est une différence d'indice. Et l'on additionne les puissances le long des trajets — un réflexe qu'on reprendra pour les prismes à réflexion totale (exercice 7) et pour la réflexion partielle au fond d'une goutte (problème).