Le disque lumineux et la fenêtre de Snell

La stratégie. La réflexion totale borne les directions dans lesquelles la lumière peut sortir de l'eau ; par le retour inverse, elle borne aussi celles dans lesquelles la lumière peut entrer. La même construction répond donc à une question d'éclairage (la lampe) et à une question de vision (le plongeur) — c'est la méthode de l'exercice sur la fenêtre du TD précédent.

1) Le disque lumineux. Un rayon issu de la lampe atteint la surface sous l'incidence $r$, et n'en sort que si $r\le i_{\lim }$, avec $\sin i_{\lim }=1/n$ ; au-delà, il est totalement réfléchi vers le fond. Les points de sortie sont donc à une distance de la verticale au plus égale à $$\rho =h\tan i_{\lim }=\frac{h}{\sqrt{n^2-1}}=\frac{2,0}{\sqrt{1,33^2-1}}=2,3\mathrm{m},$$ en utilisant $\tan i=\frac{\sin i}{\sqrt{1-{\sin }^{2}i}}=\frac{1/n}{\sqrt{1-1/n^2}}=\frac{1}{\sqrt{n^2-1}}$. Un flotteur opaque de rayon $2,3$ m centré à la verticale masque complètement la lampe depuis l'extérieur, de quelque point qu'on regarde : aucun rayon ne sort hors du disque. Homogénéité : $\rho$ est une longueur. Cas limite : $n\to 1$ donne $\rho \to \infty$, plus de réflexion totale.

2) La fraction sortante. La lumière émise vers le haut remplit une demi-sphère, soit la fraction $1/2$ de l'émission ; celle qui atteint le disque est dans un cône de demi-angle $i_{\lim }=48,8^{\circ }$, fraction $(1-\cos 48,8^{\circ })/2=0,17$. Le disque reçoit donc $$\frac{0,17}{0,5}=1-\cos i_{\lim }=34\%$$ de la lumière émise vers le haut. Les deux tiers restants sont renvoyés vers le fond par réflexion totale ; et même dans le disque, une petite fraction est réfléchie partiellement (exercice 1). C'est pourquoi une piscine éclairée de l'intérieur paraît lumineuse au-dessus des lampes et sombre ailleurs.

3) La fenêtre de Snell. Par le retour inverse, les rayons qui arrivent à l'œil du plongeur depuis l'air suivent, à l'envers, les trajets des rayons que la lampe envoie dans l'air. Un rayon venu de l'extérieur sous une incidence $i$ quelconque entre $0$ et $90^{\circ }$ se réfracte sous un angle $r$ au plus égal à $i_{\lim }$ (exercice 2, déviation maximale) ; le rayon qui vient de l'horizon, en incidence rasante, entre sous $r=i_{\lim }=48,8^{\circ }$. Tout le ciel, $180^{\circ }$ d'un horizon à l'autre, est donc vu dans un cône de demi-angle $48,8^{\circ }$ : la « fenêtre de Snell ». Hors de ce cône, aucun rayon ne vient de l'extérieur ; mais des rayons venus du fond de la piscine, totalement réfléchis par la surface, arrivent à l'œil : le plongeur voit au-delà de la fenêtre le fond réfléchi, comme dans un miroir parfait. (La figure « fenêtre de Snell » du cours montre ce double contenu.)

4) La compression de l'horizon. Un point vu à la hauteur angulaire $\beta$ au-dessus de l'horizon arrive sous l'incidence $i=90^{\circ }-\beta$, et entre sous l'angle $r$ tel que $\sin r=\cos \beta /n$. Pour $\beta =10^{\circ }$ : $\sin r=0,985/1,33=0,740$, $r=47,8^{\circ }$. Pour $\beta =45^{\circ }$ : $\sin r=0,707/1,33$, $r=32,1^{\circ }$. L'horizon est à $48,8^{\circ }$ : les dix premiers degrés au-dessus de l'horizon sont comprimés dans moins d'un degré ($48,8^{\circ }-47,8^{\circ }=1,0^{\circ }$), alors que les quarante-cinq degrés autour du zénith occupent $32^{\circ }$. Le plongeur voit le paysage du bord de la piscine écrasé en un liseré au bord de la fenêtre, et le ciel du zénith presque sans déformation. C'est l'objectif « fisheye » de la nature : un champ de $180^{\circ }$ ramené à $97,5^{\circ }$.

Ce que l'exercice installe. Le retour inverse fait de la réflexion totale à la sortie une limite d'acceptance à l'entrée : tous les rayons venus d'un demi-espace entrent dans un cône de demi-angle $i_{\lim }$. C'est exactement le raisonnement qui établira, au chapitre sur les instruments, le cône d'acceptance d'une fibre optique. Et un champ angulaire se comprime fortement près de l'incidence rasante.