Le mirage : l'invariant $n\sin i$

La stratégie. Dans un milieu stratifié, toutes les interfaces sont parallèles : elles ont la même normale, verticale. La loi de Snell-Descartes, appliquée à chaque interface, fournit alors un invariant, qui remplace le calcul pas à pas et donne immédiatement l'altitude où le rayon se retourne.

1) L'invariant. À l'interface entre les couches $k$ et $k+1$, la normale est verticale ; l'angle de réfraction dans la couche $k$ est aussi l'angle d'incidence sur l'interface suivante (interfaces parallèles, comme pour la lame de l'exercice 3). La loi donne $n_k\sin i_k=n_{k+1}\sin i_{k+1}$, et de proche en proche $$n_0\sin i_0=n_1\sin i_1=n_2\sin i_2=\cdots$$ En découpant un milieu d'indice continu $n(z)$ en couches de plus en plus fines, l'égalité vaut entre deux altitudes quelconques : $n(z)\sin i(z)=\text{cte}$ le long du rayon. La figure du mirage du cours vérifie exactement cette relation couche par couche.

2) Le rayon se retourne. Un rayon descend vers des couches d'indice de plus en plus faible ; pour que $n\sin i$ reste constant, $\sin i$ doit croître : le rayon s'écarte de la verticale, se couche. Il devient horizontal ($i=90^{\circ }$) à l'altitude $z_m$ telle que $$n(z_m)\times 1=n(z_0)\sin i_0.$$ Il ne peut pas descendre plus bas : cela demanderait $\sin i>1$. Il repart donc vers le haut, symétriquement (par retour inverse, le trajet montant est le trajet descendant parcouru à l'envers). À chaque couche le rayon est réfracté, et ce n'est qu'au point de rebroussement qu'il atteint la condition de réflexion totale : il n'y a aucune surface réfléchissante, la réflexion totale est étalée sur l'épaisseur des couches. D'où l'expression « réflexion totale progressive ». Le rayon s'incurve toujours vers les indices forts : ici vers le haut.

3) La flaque n'apparaît que sous l'horizon, et à peine. À l'œil, à l'altitude $H$ d'indice $n_o$, le rayon fait l'angle $i_o=90^{\circ }-\alpha$ avec la verticale ; l'invariant vaut $n_o\cos \alpha$. Le rayon a pu se retourner au-dessus du sol si l'altitude de retournement existe entre $0$ et $H$, c'est-à-dire si $n_o\cos \alpha \ge n_s$, l'indice au sol : $$\cos \alpha \ge \frac{n_s}{n_o}=1-\frac{\Delta n}{n_o}.$$ D'où $\cos {\alpha }_{\max }=1-\Delta n/n$ ; avec $\cos \alpha \approx 1-{\alpha }^2/2$ : $${\alpha }_{\max }\approx \sqrt{2\Delta n}=\sqrt{4,8\times 10^{-5}}=6,9\times 10^{-3}\mathrm{rad}=0,40^{\circ }.$$ Dans les directions situées à moins de $0,40^{\circ }$ sous l'horizon, l'œil reçoit des rayons qui sont descendus puis remontés : venus d'en haut, c'est-à-dire du ciel. L'observateur voit le ciel là où il attend le sol : une nappe brillante qui ressemble à une flaque d'eau reflétant le ciel. Au-delà de $0,40^{\circ }$ sous l'horizon, les rayons viennent du sol, et l'on voit la route. Ordre de grandeur : un écart d'indice de deux cent-millièmes produit un effet de quatre dixièmes de degré, comparable au diamètre apparent du Soleil.

4) La distance de la flaque. La parabole $z(x)=H-\alpha x+\frac{1}{2}g{x}^2$ a son minimum en $x_m=\alpha /g$, à l'altitude $H-{\alpha }^2/(2g)$. Le rayon limite, qui frôle le sol, vérifie ${\alpha }^2=2gH=2\Delta n$, cohérent avec le 3). Son point bas est à la distance $$x_m=\frac{{\alpha }_{\max }}{g}=\frac{6,9\times 10^{-3}}{2,4\times 10^{-5}/1,5}=4,3\times 10^2\mathrm{m}.$$ La flaque apparaît à quelques centaines de mètres, et elle recule quand on avance : c'est l'image du ciel, pas un objet. Limite du modèle : dans la réalité, le gradient de température est concentré dans les premiers décimètres au-dessus du bitume ; le profil n'est pas affine, et la flaque peut paraître plus proche. L'angle ${\alpha }_{\max }$, lui, ne dépend que de l'écart total $\Delta n$ entre le sol et l'œil, pas du profil — c'est la force de l'invariant.

5) Cas limite et figure du cours. Quand $\Delta n\to 0$, ${\alpha }_{\max }\to 0$ : l'air homogène ne courbe aucun rayon, le mirage disparaît. Il faut aussi que l'indice croisse avec l'altitude ; un air plus froid au sol (au-dessus de la mer froide) donne le mirage inverse, où l'on voit des bateaux au-dessus de l'horizon. La figure du cours : pour que la courbure soit visible sur un dessin, on y exagère les écarts d'indice de plusieurs ordres de grandeur ; seuls comptent les rapports $n_k/n_0$, qui fixent les angles par l'invariant. On peut donc choisir des valeurs toutes supérieures à $1$ — l'indice d'un milieu matériel vérifie $n\ge 1$ (chapitre 1) — en multipliant toutes les valeurs par un même facteur : la géométrie du tracé est inchangée.

Ce que l'exercice installe. Dans un milieu stratifié, $n\sin i$ est un invariant du rayon : il donne le point de rebroussement sans suivre le rayon pas à pas. Un rayon s'incurve vers les indices forts. La réflexion totale peut être progressive. Et deux cent-millièmes d'indice, accumulés sur des centaines de mètres, suffisent à créer une image — c'est le prolongement direct du TD du chapitre 1, où l'on avait calculé cet écart.