Le réfractomètre de Pulfrich

La stratégie. On ne mesure pas un indice en suivant un rayon particulier, mais en repérant une frontière : celle que dessine le rayon le plus incliné possible, le rayon rasant. L'angle limite devient un instrument de mesure. On suit ce rayon à travers les deux dioptres.

1) L'angle de réfraction maximal et la frontière. Un rayon venu du liquide sous l'incidence $i\in [0,90^{\circ }]$ entre dans le verre (plus réfringent) sous l'angle $r$ tel que $n\sin i=N\sin r$. L'angle $r$ croît avec $i$ et atteint son maximum en incidence rasante, $i=90^{\circ }$ : $$\sin r_{\ell }=\frac{n}{N}.$$ C'est l'angle limite du dioptre verre/liquide, vu dans le sens de l'entrée (retour inverse). Dans le verre, toutes les directions $r\le r_{\ell }$ sont occupées par de la lumière, et aucune direction $r>r_{\ell }$ ne l'est. La frontière clair/sombre est dessinée par les rayons en incidence rasante sur la face supérieure.

2) L'indice à partir de l'émergence. Le rayon frontière, qui fait l'angle $r_{\ell }$ avec la verticale, atteint la face verticale, dont la normale est horizontale : son incidence y vaut $90^{\circ }-r_{\ell }$. Il sort dans l'air sous l'angle $e$ tel que $$\sin e=N\sin (90^{\circ }-r_{\ell })=N\cos r_{\ell }=N\sqrt{1-\frac{n^2}{N^2}}=\sqrt{N^2-n^2}.$$ D'où $$n=\sqrt{N^2-{\sin }^{2}e}.$$

3) La plage de mesure. Entrée : il faut $n<N$, sans quoi la réflexion totale aurait lieu dans le liquide et non dans le verre ; c'est la borne supérieure, $n<1,6200$, avec $e\to 0$. Sortie : le rayon frontière doit sortir par la face verticale, sans y être totalement réfléchi : $\sin e\le 1$, soit $N^2-n^2\le 1$, $$n\ge \sqrt{N^2-1}=\sqrt{1,6200^2-1}=1,2745,$$ avec $e\to 90^{\circ }$. La plage mesurable est $[1,2745;1,6200]$, qui couvre presque tous les liquides usuels. Pour l'eau, $\sin e=\sqrt{2,6244-1,7769}=0,9206$, d'où $e=67,0^{\circ }$ : mesurable.

4) Le sirop. $n=\sqrt{1,6200^2-{\sin }^{2}60^{\circ }}=\sqrt{2,6244-0,7500}=1,3691$.

5) La précision, et à quoi elle sert. En dérivant $n^2=N^2-{\sin }^{2}e$ : $2n\mathrm{d}n=-2\sin e\cos e\mathrm{d}e$, donc $$|\Delta n|=\frac{\sin e\cos e}{n}\Delta e=\frac{0,866\times 0,500}{1,369}\times 2,91\times 10^{-4}=9,2\times 10^{-5},$$ pour $\Delta e=1^{\prime }=2,91\times 10^{-4}$ rad. On mesure l'indice d'un liquide à $10^{-4}$ près avec une goutte et un goniomètre ordinaire. Or l'indice d'une solution sucrée croît d'environ $1,5\times 10^{-3}$ par pour cent de sucre en masse : une précision de $10^{-4}$ donne la teneur en sucre à mieux que $0,1\%$. C'est la mesure en « degrés Brix » des vignerons (maturité du raisin) et des confiseurs, faite avec des réfractomètres qui reposent tous sur l'angle limite — celui d'Abbe en est la variante la plus répandue.

Ce que l'exercice installe. L'angle limite comme méthode de mesure : une frontière nette entre lumière et ombre, dessinée par les rayons rasants, donne un indice sans aucune mesure de distance. Le retour inverse fait de l'angle limite de sortie un angle maximal d'entrée. Et l'étude de la plage de mesure (deux conditions, une à chaque dioptre) est le réflexe à avoir devant tout instrument.