Problème : l'arc-en-ciel et le rayon de Descartes

La stratégie. Une goutte dévie la lumière d'un angle qui dépend du point d'entrée : un faisceau parallèle en ressort dans toutes les directions. Mais là où la déviation est stationnaire, une large plage de points d'entrée ressort presque dans la même direction : la lumière s'y accumule. L'arc-en-ciel est cette accumulation, et la dispersion la colore. On fait le calcul de Descartes : trajet, déviation, extremum.

1) Le trajet, et pourquoi la réflexion totale n'a jamais lieu. Notons $O$ le centre, $I$ le point d'entrée, $J$ le point de réflexion arrière, $K$ le point de sortie. Les normales en ces points sont les rayons $OI$, $OJ$, $OK$, tous de longueur $R$. Le triangle $OIJ$ est isocèle en $O$ ($OI=OJ=R$) : ses angles en $I$ et $J$ sont égaux. L'angle en $I$, entre la corde $IJ$ et la normale $OI$, est l'angle de réfraction $r$ ; l'angle d'incidence en $J$ est donc aussi $r$. La réflexion en $J$ renvoie le rayon sous l'angle $r$ ; le triangle $OJK$ est isocèle de même, et l'incidence en $K$ vaut encore $r$. À la sortie, $n\sin r=\sin i^{\prime }$, donc $i^{\prime }=i$ : le rayon ressort sous l'angle d'entrée. Toutes les incidences internes valent $r$, et $\sin r=\frac{\sin i}{n}\le \frac{1}{n}=\sin i_{\lim }$ : $r\le i_{\lim }$ pour tout rayon, avec égalité seulement pour l'incidence rasante. La réflexion en $J$ n'est jamais totale : elle est partielle (de l'ordre de quelques pour cent, exercice 1), et l'essentiel de la lumière ressort par l'arrière de la goutte. L'arc-en-ciel est fait de ces quelques pour cent ; c'est pourquoi il est beaucoup moins lumineux que le ciel qui l'entoure.

2) La déviation. On suit la direction du rayon et on additionne les rotations, toutes dans le même sens. En $I$, la réfraction le fait tourner de $i-r$. En $J$, la réflexion le fait tourner de $180^{\circ }-2r$ (un rayon qui arrive sous l'incidence $r$ et repart symétrique est dévié du supplémentaire de $2r$). En $K$, la réfraction le fait tourner de $i-r$ à nouveau. Au total : $$D(i)=(i-r)+(180^{\circ }-2r)+(i-r)=180^{\circ }+2i-4r.$$ Cas particulier de contrôle : en incidence normale, $i=r=0$, $D=180^{\circ }$ : le rayon central est renvoyé vers le Soleil, ce qui est évident par symétrie.

3) Le rayon de Descartes. Par la loi de la réfraction, $\cos i\mathrm{d}i=n\cos r\mathrm{d}r$, donc $\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}i}=\frac{\cos i}{n\cos r}$ et $$\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}i}=2-4\frac{\cos i}{n\cos r}.$$ Elle s'annule si et seulement si $n\cos r=2\cos i$. En élevant au carré et en utilisant $n^2{\cos }^{2}r=n^2-n^2{\sin }^{2}r=n^2-{\sin }^{2}i=n^2-1+{\cos }^{2}i$ : $$n^2-1+{\cos }^{2}i=4{\cos }^{2}i⟺{\cos }^{2}i=\frac{n^2-1}{3}.$$ (L'élévation au carré n'introduit pas de solution parasite : les deux cosinus sont positifs.) Pour $n=1,333$ : ${\cos }^2{i}_D=\frac{0,7769}{3}=0,2590$, $\cos i_D=0,5089$, $i_D=59,4^{\circ }$ ; puis $\sin r_D=\sin 59,41^{\circ }/1,333=0,6457$, $r_D=40,2^{\circ }$, et $$D_{\min }=180^{\circ }+2\times 59,41^{\circ }-4\times 40,22^{\circ }=137,9^{\circ },\theta =180^{\circ }-D_{\min }=42,1^{\circ }.$$ C'est bien un minimum de $D$ : la dérivée vaut $2-4/n\approx -1$ en incidence normale et tend vers $2$ en incidence rasante (où $\cos i\to 0$) ; comme elle ne s'annule qu'en $i_D$, elle est négative avant et positive après. Une minimisation numérique de $D(i)$ redonne $i_D=59,41^{\circ }$ et $D_{\min }=137,92^{\circ }$. La lumière qui ressort au minimum de déviation fait avec la direction antisolaire l'angle maximal $\theta =42,1^{\circ }$ : minimum de $D$, maximum de $\theta$. Le point délicat : l'angle $\theta$ se mesure depuis le point antisolaire (l'ombre de la tête de l'observateur), et non depuis le Soleil, qui est dans le dos de l'observateur.

4) Pourquoi un arc lumineux. Au voisinage d'un extremum, une fonction varie au second ordre : $D(i)\approx D_{\min }+\frac{1}{2}{D}^{\prime \prime }(i_D)(i-i_D{)}^2$. Une plage d'incidences de largeur $\Delta i$ autour de $i_D$ ressort dans une plage de déviations de largeur proportionnelle à $(\Delta i{)}^2$, minuscule ; partout ailleurs, la même plage $\Delta i$ est étalée sur une largeur proportionnelle à $\Delta i$. Les rayons s'accumulent dans la direction $\theta$. Le calcul numérique donne la mesure de l'effet : un cinquième de la lumière qui suit ce trajet ressort dans le seul degré qui précède $\theta$, huit fois plus qu'entre $30^{\circ }$ et $31^{\circ }$ ; et aucune lumière ne ressort au-delà de $\theta$, d'où un ciel plus sombre juste à l'extérieur de l'arc (la bande d'Alexandre). Le script suivant, non exigé, fait ce décompte :

import numpy as np
n = 1.333
b = np.linspace(0, 1, 2_000_001)     # b = sin(i)
theta = np.degrees(4*np.arcsin(b/n) - 2*np.arcsin(b))
w = 2*b                             # flux uniforme en b^2
th_max = theta.max()
f1 = np.trapezoid(w*(theta > th_max - 1), b)
f2 = np.trapezoid(w*((theta > 30) & (theta < 31)), b)
print(th_max, f1, f2)               # 42.08  0.205  0.026

L'arc. Toutes les gouttes qui renvoient vers l'œil de la lumière concentrée sont celles que l'observateur voit dans une direction faisant l'angle $\theta$ avec la direction antisolaire. Par symétrie autour de cet axe, ces directions forment un cône de demi-angle $42,1^{\circ }$, centré sur le point antisolaire : l'observateur voit un cercle, dont le sol coupe la partie inférieure. Chaque observateur a son propre arc, construit par ses propres gouttes.

5) Couleurs et largeur. Le même calcul donne, pour le rouge ($n=1,3312$), $\theta =42,3^{\circ }$, et pour le violet ($n=1,3435$), $\theta =40,6^{\circ }$. L'indice du rouge étant plus faible, son angle est plus grand : le rouge est à l'extérieur, le violet à l'intérieur. La largeur due à la dispersion vaut $42,34^{\circ }-40,58^{\circ }=1,8^{\circ }$ ; chaque couleur est en outre étalée sur le diamètre apparent du Soleil, $0,5^{\circ }$, car les rayons venus des deux bords du disque solaire ne sont pas parallèles. L'arc mesure environ $2,3^{\circ }$ de large, et les couleurs y chevauchent un peu.

6) Quand le voir, et les cas limites. Le point antisolaire est sous l'horizon, à la profondeur angulaire égale à la hauteur du Soleil, $h_{\odot }$. Le sommet de l'arc est à $\theta -h_{\odot }$ au-dessus de l'horizon : il n'est visible depuis le sol que si $h_{\odot }<42^{\circ }$. À midi solaire, fin juin, à Paris, $h_{\odot }=90^{\circ }-48,85^{\circ }+23,44^{\circ }=64,6^{\circ }$ : l'arc est entièrement sous l'horizon. Pas d'arc-en-ciel à midi en été ; on le voit le matin ou en fin d'après-midi — ou d'avion, où l'on peut voir le cercle entier.

Cas limites de ${\cos }^2{i}_D=(n^2-1)/3$. Quand $n\to 1$, $\cos i_D\to 0$ : l'incidence stationnaire devient rasante, et $\theta =4r_D-2i_D\to 2\times 90^{\circ }=180^{\circ }$ (on calcule $\theta =171^{\circ }$ pour $n=1,001$). L'arc s'ouvre jusqu'à la direction du Soleil et disparaît : sans réfraction, une sphère réfléchissante n'a aucune déviation stationnaire. Quand $n\to 2$, $\cos i_D\to 1$ : l'incidence stationnaire devient normale et $\theta \to 0$, l'arc se referme sur le point antisolaire. L'arc n'existe donc que pour $1<n<2$, et son rayon diminue quand l'indice augmente — c'est exactement pourquoi le violet, plus réfringent, est à l'intérieur. (Des billes de verre d'indice $1,5$ donneraient un arc de $23^{\circ }$ ; on l'observe sur les routes, dont la peinture contient des microbilles.) Ouverture : les rayons qui subissent deux réflexions internes donnent, par le même calcul avec ${\cos }^{2}i=(n^2-1)/8$, un arc secondaire vers $51^{\circ }$, plus pâle, aux couleurs inversées.

Le résultat obtenu — l'angle de l'arc-en-ciel (rayon de Descartes, 1637). Pour les rayons qui subissent une réflexion à l'intérieur d'une goutte sphérique d'indice $n$, la déviation $D=180^{\circ }+2i-4r$ est minimale pour l'incidence ${\cos }^2{i}_D=(n^2-1)/3$ ; la lumière s'accumule dans cette direction, qui fait l'angle $\theta =180^{\circ }-D_{\min }\approx 42^{\circ }$ avec la direction antisolaire pour l'eau, et la dispersion range les couleurs du violet ($40,6^{\circ }$, intérieur) au rouge ($42,3^{\circ }$, extérieur).

Ce que le problème installe. La lumière s'accumule là où une déviation est stationnaire : c'est une idée qui dépasse l'arc-en-ciel (elle explique aussi pourquoi le minimum de déviation d'un prisme est facile à repérer, exercice 5). Une surface courbe se traite localement par son plan tangent, ce qui suffit pour suivre un rayon. Et la réflexion totale, condition établie au début de la séance, sert ici à montrer qu'elle n'a pas lieu : savoir quand une loi ne s'applique pas est aussi un résultat.