Décentrer une lentille : la stabilisation optique

La stratégie. La translation ne change ni la focale ni les distances mesurées le long de l'axe : seul l'axe optique s'est déplacé de $\delta$. On se place dans le repère de la lentille, où la situation est la situation habituelle, puis on revient au repère fixe.

1) Le déplacement de l'image. Repérons les hauteurs depuis l'ancien axe. Le nouvel axe est à la hauteur $\delta$ ; les distances le long de l'axe n'ont pas changé, donc $\overline{O{A}^{\prime }}$ et $\gamma$ non plus. Le point $B$, à la hauteur $y_B$, est à la hauteur $y_B-\delta$ au-dessus du nouvel axe ; son image est à la hauteur $\gamma (y_B-\delta )$ au-dessus du nouvel axe, soit, dans le repère fixe, $$y_{B^{\prime }}=\delta +\gamma (y_B-\delta )=\gamma y_B+\delta (1-\gamma ).$$ Avant la translation, l'image était à $\gamma y_B$ : elle s'est déplacée de $\delta (1-\gamma )$, dans le sens de la translation si $\gamma <1$. Construction : le rayon issu de $B$ passant par le nouveau centre $O_1$ n'est pas dévié ; il coupe le plan image (inchangé) au nouveau $B^{\prime }$. Les triangles semblables de sommet $O_1$ redonnent le même résultat.

2) Deux cas. Objet à l'infini : l'image est dans le plan focal, et $\gamma \to 0$ ; le déplacement vaut $\delta$ : l'image suit la lentille. C'est évident sur le rayon non dévié : le foyer secondaire est sur la parallèle au faisceau passant par $O_1$, translatée de $\delta$. Cas $\gamma =-1$ : le déplacement vaut $2\delta$ ; l'objet, fixe, est symétrique de l'image par rapport au centre $O_1$, et quand $O_1$ monte de $\delta$, l'image doit monter de $2\delta$ pour que le milieu reste $O_1$.

3) Le flou de bougé. Une rotation de l'appareil de $\epsilon$ change la direction de l'étoile, vue par l'objectif, de $\epsilon$ ; l'image d'un objet à l'infini dans le plan focal se déplace de $f^{\prime }\epsilon$ (exercice 1) : $$\Delta y=f^{\prime }\tan \epsilon =200\times \tan (0,10^{\circ })\approx 0,35\mathrm{mm},$$ soit $0,35/0,004\approx 87$ photosites. L'étoile devient un trait de près de cent pixels : la photo est inutilisable, alors que le tremblement est imperceptible à la main. Le flou de bougé est proportionnel à la focale : c'est pourquoi la règle des photographes impose une durée de pose d'autant plus courte que la focale est longue.

4) La compensation. L'image d'un objet à l'infini suit la lentille : pour ramener l'image de $0,35\mathrm{mm}$, il suffit de translater la lentille de $0,35\mathrm{mm}$ dans le sens où l'image doit revenir, c'est-à-dire en sens opposé au déplacement causé par le tremblement. Un capteur de rotation (gyromètre) mesure $\epsilon$, et un actionneur déplace la lentille de $f^{\prime }\epsilon$ en temps réel. Pour un objet proche, il faudrait $\delta =\Delta y/(1-\gamma )$, un peu moins puisque $\gamma <0$.

Ce que l'exercice installe. Le centre optique est un point de la lentille, pas de l'axe du montage : le rayon non dévié passe par le centre là où il se trouve. Et un résultat d'ordre de grandeur : une petite rotation de l'axe de visée déplace l'image de $f^{\prime }\epsilon$, ce qui fixe la stabilité exigée d'un instrument de grande focale.