L'autocollimation

La stratégie. Trois conjugaisons successives (lentille, miroir, lentille), mais on évite tout calcul de position en suivant des directions : un point du plan focal objet donne un faisceau parallèle, dont la direction est fixée par le rayon passant par $O$ ; le miroir plan change cette direction en sa symétrique ; la lentille, au retour, ramène le faisceau parallèle en un point du plan focal, fixé à nouveau par le rayon passant par $O$.

1) L'image dans le plan de l'objet. Prenons $O$ pour origine, l'axe orienté vers le miroir. $B$ est dans le plan focal objet, à l'abscisse $-f^{\prime }$ et à la hauteur $y$. Les rayons issus de $B$ émergent parallèles entre eux, dans la direction de $(BO)$, qui descend de $y$ sur la distance $f^{\prime }$ : vecteur directeur $(1,-y/f^{\prime })$. Le miroir, perpendiculaire à l'axe, change la composante axiale de signe et conserve la composante transversale : le faisceau réfléchi est parallèle, de direction $(-1,-y/f^{\prime })$. Il retraverse la lentille de droite à gauche ; pour ce sens de propagation, le plan focal image est le plan de $F$, à l'abscisse $-f^{\prime }$. Le faisceau parallèle y converge au point que fixe le rayon passant par $O$, non dévié : parti de $O$ avec la direction $(-1,-y/f^{\prime })$, il atteint l'abscisse $-f^{\prime }$ à la hauteur $-y$. L'image $B^{\prime }$ est dans le plan de l'objet, à la hauteur $-y$ : $\gamma =-1$, image renversée de même taille.

La distance $a$ n'est intervenue nulle part : entre la lentille et le miroir, la lumière ne voyage qu'en faisceaux parallèles, et un faisceau parallèle est le même à toute distance. (Le miroir doit seulement être assez grand pour intercepter les faisceaux.)

2) La mesure de $f^{\prime }$. On place un objet lumineux (une mire) près de l'axe, et l'on déplace la lentille jusqu'à voir une image nette de la mire, renversée, dans le plan même de la mire (à côté d'elle, sur un écran percé). La distance mire-lentille vaut alors $f^{\prime }$. On n'a pas besoin de connaître ni de mesurer la position du miroir, qui peut être placé n'importe où derrière la lentille. C'est une méthode rapide de banc d'optique, dont la précision est limitée par l'appréciation de la netteté.

3) Le miroir tourné. Si le miroir tourne de $\epsilon$, le faisceau réfléchi tourne de $2\epsilon$ (angle double, propriété du miroir plan). Au retour, l'image se forme en un point du plan focal que fixe le rayon passant par $O$ : sa hauteur a varié de $f^{\prime }\tan 2\epsilon \approx 2\epsilon f^{\prime }$. Pour un déplacement détectable de $10\mu \mathrm{m}$ :

$$\epsilon =\frac{10\times 10^{-6}}{2\times 0,50}=1,0\times 10^{-5}\mathrm{rad}\approx 2^{\prime \prime }$$

(deux secondes d'arc). C'est le principe de l'autocollimateur, qui mesure des inclinaisons de quelques secondes d'arc sur des machines-outils ou des miroirs de télescope.

4) Deux usages. Vérifier un plan focal : l'image de retour n'est nette, dans le plan de la mire, que si la mire est exactement dans le plan focal objet ; on règle ainsi un collimateur, qui fournit un faisceau parallèle, c'est-à-dire un objet à l'infini en salle de TP. Parallélisme de deux faces : les reflets sur deux faces d'une lame donnent deux images de retour, décalées de $2\epsilon f^{\prime }$ si les faces font entre elles l'angle $\epsilon$ ; leur coïncidence prouve le parallélisme à quelques secondes d'arc près.

Ce que l'exercice installe. Raisonner sur des faisceaux parallèles et le rayon passant par $O$ évite tout calcul de position et fait apparaître les invariances ; la combinaison lentille et miroir plan transforme une rotation en une translation de l'image, amplifiée par la focale.