La carte des quatre natures

La stratégie. La relation de Descartes donne $\overline{O{A}^{\prime }}$ comme une fonction homographique de $\overline{OA}$ ; l'étude de cette fonction (signe, asymptotes, monotonie) range d'un coup tous les cas de figure, au lieu de les apprendre un par un.

1) Une hyperbole. De $\frac{1}{\overline{O{A}^{\prime }}}=\frac{1}{f^{\prime }}+\frac{1}{\overline{OA}}$, on tire

$$\overline{O{A}^{\prime }}=\frac{f^{\prime }\overline{OA}}{f^{\prime }+\overline{OA}}.$$

Le dénominateur s'annule pour $\overline{OA}=-f^{\prime }$ : asymptote verticale en $\overline{OA}=-f^{\prime }=-20\mathrm{cm}$, objet au foyer objet, image rejetée à l'infini. Quand $|\overline{OA}|\to \infty$, $\overline{O{A}^{\prime }}\to f^{\prime }$ : asymptote horizontale en $\overline{O{A}^{\prime }}=f^{\prime }=20\mathrm{cm}$, objet à l'infini, image au foyer image. La dérivée vaut $\frac{f^{\prime 2}}{(f^{\prime }+\overline{OA}{)}^2}>0$ : la fonction est croissante sur chacun de ses deux intervalles. La courbe est une hyperbole de centre $(-f^{\prime },f^{\prime })$, qui passe par l'origine (un objet sur la lentille est sa propre image).

2) Les zones. Objet réel : $\overline{OA}<0$ ; image réelle : $\overline{O{A}^{\prime }}>0$ ; $\gamma =\overline{O{A}^{\prime }}/\overline{OA}$.

• Objet réel au-delà de $F$ ($\overline{OA}<-f^{\prime }$) : $\overline{O{A}^{\prime }}>f^{\prime }>0$, image réelle, $\gamma <0$ (renversée) ; c'est le domaine du projecteur et de l'appareil photographique.
• Objet réel entre $F$ et $O$ ($-f^{\prime }<\overline{OA}<0$) : $\overline{O{A}^{\prime }}<0$, image virtuelle, $\gamma >1$ (droite, agrandie) ; c'est la loupe.
• Objet virtuel ($\overline{OA}>0$) : image réelle, $0<\gamma <1$ (question 3).
• Image virtuelle d'un objet virtuel : aucune zone de la courbe ; une convergente ne la produit jamais.

3) L'objet virtuel. Pour $\overline{OA}>0$, numérateur et dénominateur de $\overline{O{A}^{\prime }}$ sont positifs : $\overline{O{A}^{\prime }}>0$, image réelle. Et $\overline{O{A}^{\prime }}=f^{\prime }\frac{\overline{OA}}{f^{\prime }+\overline{OA}}<f^{\prime }$ car la fraction est inférieure à $1$. Le grandissement vaut $\gamma =\frac{f^{\prime }}{f^{\prime }+\overline{OA}}$, compris entre $0$ et $1$ : image réelle, droite et réduite, entre $O$ et $F^{\prime }$. En pratique, un objet virtuel est le point vers lequel converge un faisceau qu'on intercepte avant sa convergence : l'image réelle donnée par une première lentille, si l'on place la seconde avant cette image.

4) Construction pour $\overline{OA}=+20\mathrm{cm}$. L'objet $AB$ est virtuel : les rayons incidents se dirigent vers $B$, situé après la lentille, à l'aplomb de $F^{\prime }$. On utilise deux rayons dont le sort est connu. Le rayon dirigé vers $B$ en passant par $O$ n'est pas dévié : il continue vers $B$. Le rayon dirigé vers $B$ parallèlement à l'axe frappe la lentille à la hauteur $\overline{AB}$ et émerge en passant par $F^{\prime }$ ; or $F^{\prime }$ est exactement au pied de $B$, sur l'axe. Ces deux droites se coupent en $B^{\prime }$. Par le calcul, la droite issue du point de la lentille de hauteur $\overline{AB}$ et passant par $F^{\prime }$ a pour équation $y=\overline{AB}(1-x/f^{\prime })$, et le rayon par $O$ est $y=\overline{AB}x/f^{\prime }$ ; ils se coupent en $x=f^{\prime }/2=10\mathrm{cm}$, à la hauteur $\overline{AB}/2$. Un troisième rayon contrôle : celui qui passe par $F$ (en amont) et se dirige vers $B$ frappe la lentille à la hauteur $\overline{AB}/2$ et émerge parallèle à l'axe, à cette hauteur : il passe bien par $B^{\prime }$.

Par Descartes : $\frac{1}{\overline{O{A}^{\prime }}}=\frac{1}{20}+\frac{1}{20}=\frac{1}{10}$, donc $\overline{O{A}^{\prime }}=10\mathrm{cm}$ et $\gamma =10/20=0,5$. L'image est réelle, droite, deux fois plus petite : on la recueillerait sur un écran à $10\mathrm{cm}$ de la lentille.

5) Le tableau numérique. Le script suivant applique la relation de Descartes à huit positions de l'objet, réelles et virtuelles.

fp = 0.20                           # focale image f' (m)
print(" OA (m)   OA' (m)   gamma   objet     image")
for OA in (-1.0, -0.40, -0.25, -0.15, -0.10, 0.10, 0.20, 1.0):
    OAp = 1 / (1 / fp + 1 / OA)     # relation de Descartes
    g = OAp / OA
    obj = "reel" if OA < 0 else "virtuel"
    ima = "reelle" if OAp > 0 else "virtuelle"
    print(f"{OA:6.2f}  {OAp:7.3f}  {g:6.2f}   {obj:8s}  {ima}")

Résultat obtenu en l'exécutant :

 OA (m)   OA' (m)   gamma   objet     image
 -1.00    0.250   -0.25   reel      reelle
 -0.40    0.400   -1.00   reel      reelle
 -0.25    1.000   -4.00   reel      reelle
 -0.15   -0.600    4.00   reel      virtuelle
 -0.10   -0.200    2.00   reel      virtuelle
  0.10    0.067    0.67   virtuel   reelle
  0.20    0.100    0.50   virtuel   reelle
  1.00    0.167    0.17   virtuel   reelle

On y lit les trois zones : objet réel au-delà de $F$, image réelle renversée qui s'éloigne quand l'objet s'approche de $F$ ; objet réel entre $F$ et $O$, image virtuelle agrandie ; objet virtuel, image réelle droite réduite, toujours entre $O$ et $F^{\prime }$. La ligne $\overline{OA}=-0,40\mathrm{m}=-2f^{\prime }$ donne $\gamma =-1$ : le cas de la distance minimale objet-image.

Ce que l'exercice installe. Une fonction homographique, ses deux asymptotes et sa monotonie résument toutes les configurations d'une lentille : plutôt que d'apprendre cinq cas, on lit la courbe. Et l'objet virtuel cesse d'être une curiosité : c'est l'objet de toute seconde lentille.