La divergente qui donne une image réelle : le téléobjectif

La stratégie. On étudie le signe de $\overline{O{A}^{\prime }}$ donné par Descartes, en tenant compte de $f_2^{\prime }<0$ ; la construction adapte les trois rayons à la divergente (foyers virtuels, $F^{\prime }$ en amont, $F$ en aval) ; le téléobjectif enchaîne deux conjugaisons, l'image intermédiaire jouant le rôle d'objet virtuel pour la divergente.

1) La condition. $\overline{O{A}^{\prime }}=\frac{f_2^{\prime }\overline{OA}}{f_2^{\prime }+\overline{OA}}$ avec $f_2^{\prime }<0$.

• Objet réel ($\overline{OA}<0$) : numérateur positif, dénominateur $f_2^{\prime }+\overline{OA}<0$ ; donc $\overline{O{A}^{\prime }}<0$ : image virtuelle, toujours ; et $\gamma =\frac{f_2^{\prime }}{f_2^{\prime }+\overline{OA}}\in ]0,1[$ : droite et réduite (le judas de porte).
• Objet virtuel ($\overline{OA}>0$) : numérateur négatif ; l'image est réelle si et seulement si le dénominateur est négatif, $\overline{OA}<-f_2^{\prime }=|f_2^{\prime }|$, c'est-à-dire si $A$ est entre $O$ et $F$ (situé en aval, à $|f_2^{\prime }|$). Alors $\gamma =\frac{f_2^{\prime }}{f_2^{\prime }+\overline{OA}}=\frac{|f_2^{\prime }|}{|f_2^{\prime }|-\overline{OA}}>1$ : image réelle, droite et agrandie.

C'est la seule façon d'obtenir une image réelle avec une divergente : intercepter un faisceau convergent assez près de son point de convergence.

2) Construction pour $f_2^{\prime }=-10\mathrm{cm}$, $\overline{OA}=+5\mathrm{cm}$. $F^{\prime }$ est à $10\mathrm{cm}$ en amont, $F$ à $10\mathrm{cm}$ en aval ; $B$ est à $5\mathrm{cm}$ en aval, à la hauteur $\overline{AB}=y$. Trois rayons incidents se dirigent vers $B$ :

• le rayon dirigé vers $B$ en passant par $O$ n'est pas dévié ; il est porté par la droite $Y=yX/5$ (abscisses $X$ en centimètres depuis $O$) ;
• le rayon dirigé vers $B$ parallèlement à l'axe frappe la lentille à la hauteur $y$ et émerge en divergeant comme s'il venait de $F^{\prime }$ : il est porté par la droite qui joint $F^{\prime }(-10,0)$ au point $(0,y)$, prolongée au-delà de la lentille, $Y=y(X+10)/10$ ; on trace en pointillés sa partie en amont de la lentille, jusqu'à $F^{\prime }$ ;
• le rayon dirigé vers $B$ et vers $F$ : la droite qui joint $B(5,y)$ à $F(10,0)$ coupe la lentille à la hauteur $2y$ ; un rayon dirigé vers $F$ émerge parallèle à l'axe : il ressort à la hauteur $2y$.

Le deuxième et le troisième se coupent où $y(X+10)/10=2y$, soit $X=10\mathrm{cm}$ ; le premier y passe aussi ($y\times 10/5=2y$). $B^{\prime }$ est à $10\mathrm{cm}$ en aval, à la hauteur $2y$ : les émergents s'y croisent effectivement, l'image est réelle, droite, deux fois plus grande. Par Descartes : $\frac{1}{\overline{O{A}^{\prime }}}=-\frac{1}{10}+\frac{1}{5}=\frac{1}{10}$, donc $\overline{O{A}^{\prime }}=10\mathrm{cm}$ et $\gamma =10/5=2$.

3) Le téléobjectif. Première conjugaison. L'objet à l'infini, vu sous l'angle $\alpha$, a pour image par $L_1$ un objet $A_1{B}_1$ dans le plan focal image de $L_1$, à $20\mathrm{cm}$ derrière $L_1$, de taille $\overline{A_1{B}_1}=-f_1^{\prime }\alpha =-(20\mathrm{cm})\alpha$ (exercice 1). Seconde conjugaison. $L_2$ est à $15\mathrm{cm}$ derrière $L_1$ : elle intercepte le faisceau $5\mathrm{cm}$ avant $A_1$, qui est donc pour elle un objet virtuel, $\overline{O_2{A}_1}=+5\mathrm{cm}$, entre $O_2$ et $F_2$ : c'est exactement la question 2. L'image finale est réelle, à $\overline{O_2{A}^{\prime }}=10\mathrm{cm}$ derrière $L_2$, avec ${\gamma }_2=2$ : $$\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}={\gamma }_2\overline{A_1{B}_1}=-(40\mathrm{cm})\alpha .$$ Une lentille unique donnerait d'un objet à l'infini une image de taille $-f^{\prime }\alpha$ : le téléobjectif a la focale équivalente $f^{\prime }=40\mathrm{cm}$, alors que le capteur n'est qu'à $15+10=25\mathrm{cm}$ de la première lentille. Une lentille de $40\mathrm{cm}$ de focale placée à $40\mathrm{cm}$ du capteur donnerait la même image ; le téléobjectif gagne $15\mathrm{cm}$ de longueur, soit plus du tiers. C'est tout l'intérêt de la combinaison convergente puis divergente : la divergente agrandit l'image intermédiaire, ce qui équivaut à une focale plus longue que la longueur de l'objectif.

Ce que l'exercice installe. La nature de l'image dépend de la position de l'objet par rapport aux foyers, et de sa nature réelle ou virtuelle ; une divergente donne une image réelle, à condition qu'on lui présente un objet virtuel. Construire avec une divergente exige de placer correctement $F^{\prime }$ en amont et de tracer en pointillés ce que la lumière ne parcourt pas.