Problème : la méthode de Bessel

La stratégie. La condition de netteté est une équation du second degré en la position de la lentille : l'existence d'une solution réelle est une condition sur le discriminant, et ce sont les relations entre coefficients et racines (somme et produit) qui livrent la symétrie des deux positions puis la formule de Bessel. Le problème n'utilise que la relation de Descartes, le grandissement et le retour inverse.

1) L'équation de la netteté. L'objet est réel, à la distance $x$ en amont : $\overline{OA}=-x$. L'écran est à la distance $D$ de l'objet, donc à $D-x$ en aval de la lentille : pour une image nette sur l'écran, il faut $\overline{O{A}^{\prime }}=D-x>0$. Descartes s'écrit $$\frac{1}{D-x}+\frac{1}{x}=\frac{1}{f^{\prime }}⟺\frac{x+(D-x)}{x(D-x)}=\frac{1}{f^{\prime }}⟺D{f}^{\prime }=x(D-x),$$ soit $$x^2-Dx+D{f}^{\prime }=0.$$

2) La condition d'existence. Le discriminant vaut $\Delta =D^2-4D{f}^{\prime }=D(D-4f^{\prime })$. Comme $D>0$, l'équation a des solutions réelles si et seulement si $D\ge 4f^{\prime }$. Il faut encore vérifier que ces solutions sont acceptables, c'est-à-dire comprises entre $0$ et $D$ (lentille entre l'objet et l'écran) : leur produit vaut $D{f}^{\prime }>0$ et leur somme $D>0$, donc elles sont toutes deux positives, et chacune est inférieure à $D$ puisque l'autre est positive. Une image réelle d'un objet réel, à la distance $D$, existe si et seulement si $D\ge 4f^{\prime }$. Pour $D<4f^{\prime }$, on a beau déplacer la lentille, l'écran ne reçoit jamais d'image nette. Divergente : $f^{\prime }<0$, le produit $D{f}^{\prime }$ est négatif, l'une des racines est négative et l'autre supérieure à $D$ : aucune position entre l'objet et l'écran ne convient. Une divergente ne donne jamais d'image réelle d'un objet réel (exercice 3).

3) La symétrie des deux positions. Pour $D>4f^{\prime }$, les deux racines $x_1<x_2$ ont pour somme $x_1+x_2=D$. Donc $x_2=D-x_1$ : dans la seconde position, la distance objet-lentille est égale à la distance lentille-écran de la première. Interprétation : par le principe du retour inverse, si la lumière issue de $A$ converge en $A^{\prime }$, la lumière issue de $A^{\prime }$ converge en $A$ ; échanger l'objet et l'écran donne une seconde configuration nette, qui, vue depuis l'objet, revient à retourner le montage. Les deux positions sont symétriques par rapport au milieu du segment objet-écran.

4) La formule de Bessel. La différence des racines est $d=x_2-x_1=\sqrt{\Delta }$, donc $d^2=D^2-4D{f}^{\prime }$, d'où $$f^{\prime }=\frac{D^2-d^2}{4D}.$$ Les grandissements. Dans la position 1, ${\gamma }_1=\frac{\overline{O{A}^{\prime }}}{\overline{OA}}=\frac{D-x_1}{-x_1}=-\frac{x_2}{x_1}$ ; dans la position 2, de même, ${\gamma }_2=-\frac{x_1}{x_2}$. Donc ${\gamma }_1{\gamma }_2=1$ : les deux images ont des tailles inverses l'une de l'autre en rapport à l'objet, l'une agrandie, l'autre réduite. Si $y_1$ et $y_2$ sont les tailles algébriques des images et $y$ celle de l'objet, $y_1{y}_2={\gamma }_1{\gamma }_2{y}^2=y^2$, donc $|y|=\sqrt{|y_1{y}_2|}$ : on mesure la taille d'un objet inaccessible (un filament de lampe) par ses deux images.

5) Application et incertitude. $$f^{\prime }=\frac{1,00^2-0,20^2}{4\times 1,00}=\frac{0,96}{4}=0,24\mathrm{m}.$$ Les positions sont les racines de $x^2-x+0,24=0$ : $x_1=0,40\mathrm{m}$ et $x_2=0,60\mathrm{m}$ (somme $1,00$, différence $0,20$). Les grandissements : ${\gamma }_1=-0,60/0,40=-1,5$ et ${\gamma }_2=-0,40/0,60\approx -0,67$, de produit $1$.

Incertitude. Les coefficients de sensibilité sont les dérivées partielles : $$\frac{\partial f^{\prime }}{\partial D}=\frac{D^2+d^2}{4D^2}=\frac{1,04}{4}=0,26,\frac{\partial f^{\prime }}{\partial d}=-\frac{d}{2D}=-0,10.$$ Les deux mesures étant indépendantes, les contributions s'ajoutent quadratiquement : $$u(f^{\prime })=\sqrt{(0,26\times 2{)}^2+(0,10\times 4{)}^2}\mathrm{mm}=\sqrt{0,27+0,16}\mathrm{mm}\approx 0,7\mathrm{mm},$$ soit $f^{\prime }=(240,0\pm 0,7)\mathrm{mm}$, environ $0,3\%$. L'incertitude sur $d$, pourtant double, pèse moins que celle sur $D$, parce que $d$ est petit devant $D$.

Le centre de la lentille. $d$ est la différence de deux positions de la lentille, lues sur la même règle avec le même repère : un décalage inconnu entre le repère du support et le centre optique s'élimine dans la différence. C'est l'avantage majeur de la méthode, pour une lentille dont le centre est mal repéré (ou un objectif épais).

6) Cas limites et homogénéité. Méthode de Silbermann : quand $d\to 0$, $D\to 4f^{\prime }$ ; les deux positions se confondent en $x_1=x_2=D/2=2f^{\prime }$, avec $\gamma =-1$. On mesure alors $f^{\prime }=D_{\min }/4$ en cherchant la distance minimale objet-écran donnant une image, ou la configuration où l'image a la taille de l'objet ; mais le minimum est plat, donc mal repéré, ce qui rend Silbermann moins précise que Bessel. Grande distance : pour $D\gg f^{\prime }$, $x_1=\frac{D-\sqrt{D^2-4D{f}^{\prime }}}{2}\approx f^{\prime }+\frac{f^{\prime 2}}{D}\approx f^{\prime }$ : dans la première position, l'objet est presque au foyer objet et l'image est très agrandie, comme pour un projecteur ; la seconde position, symétrique, est presque contre l'écran. Homogénéité : $\frac{D^2-d^2}{4D}$ est une longueur au carré divisée par une longueur.

Le résultat obtenu — la méthode de Bessel. Un objet et un écran fixes étant distants de $D$, une lentille convergente de focale $f^{\prime }$ en donne une image nette si et seulement si $D\ge 4f^{\prime }$ ; pour $D>4f^{\prime }$, il existe exactement deux positions de la lentille, symétriques par rapport au milieu du segment objet-écran, et si $d$ est leur distance, la focale vaut $f^{\prime }=\frac{D^2-d^2}{4D}$ ; les grandissements dans les deux positions sont inverses l'un de l'autre. La mesure ne demande que deux longueurs, sans repérer le centre de la lentille.

Ce que le problème installe. Une condition physique d'existence (une image sur l'écran) devient une condition sur un discriminant ; la symétrie des racines traduit le retour inverse de la lumière ; et la formule de mesure se choisit pour ne faire intervenir que des grandeurs bien mesurables. Avec le cours, la condition $D\ge 4f^{\prime }$ a été établie deux fois, par une dérivée et par un discriminant : deux lectures d'un même résultat exigible.