Focale, champ et focale équivalente

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Les propriétés du centre optique (rayon non dévié) et des foyers secondaires : un faisceau parallèle incliné converge en un point du plan focal image, le foyer secondaire, situé sur le rayon qui passe par $O$. La stratégie : une seule construction donne toute la loi « taille de l'image $=f^{\prime }\times$ angle », le reste en découle.

1) La construction, pas à pas. Le bord supérieur $B$ de l'objet, très éloigné, envoie sur l'objectif un faisceau de rayons parallèles entre eux, faisant l'angle $\alpha /2$ avec l'axe. Premier rayon : celui qui passe par le centre optique $O$, non dévié ; il coupe le plan focal image (le capteur, puisqu'on est réglé sur l'infini) en un point $B^{\prime }$. Deuxième rayon : un rayon du même faisceau qui frappe la lentille ailleurs ; parallèle au premier, il converge, après la lentille, vers le foyer image secondaire associé à cette direction, qui est précisément $B^{\prime }$. Tout le faisceau issu de $B$ se concentre donc en $B^{\prime }$ : c'est l'image de $B$. Dans le triangle rectangle $O{F}^{\prime }{B}^{\prime }$, $F^{\prime }{B}^{\prime }=f^{\prime }\tan (\alpha /2)\approx f^{\prime }\alpha /2$. Le bord inférieur donne de même un point symétrique, et la taille de l'image vaut

$$h^{\prime }=f^{\prime }\alpha (\alpha \text{ en radians, petit}).$$

Pour un angle qui n'est plus petit, $h^{\prime }=2f^{\prime }\tan (\alpha /2)$ : c'est cette forme qu'on emploie pour le champ.

2) Le champ du plein format. Le champ est l'angle sous lequel l'objectif « voit » le capteur depuis $O$. Horizontalement, la demi-largeur $18\mathrm{mm}$ est vue sous $\arctan (18/50)$ :

$$\text{champ horizontal}=2\arctan \frac{18}{50}=39,6^{\circ }.$$

La diagonale vaut $\sqrt{36^2+24^2}=43,3\mathrm{mm}$ :

$$\text{champ diagonal}=2\arctan \frac{21,6}{50}=46,8^{\circ }.$$

C'est à peu près le champ de netteté du regard humain : c'est pourquoi le $50\mathrm{mm}$ est appelé « objectif standard ».

3) La focale équivalente. La diagonale du capteur du smartphone vaut $\sqrt{5,6^2+4,2^2}=7,0\mathrm{mm}$. Le champ ne dépend que du rapport diagonale sur focale ; pour un même champ, il faut donc

$$\frac{f_{\mathrm{eq}}^{\prime }}{43,3}=\frac{4,25}{7,0},f_{\mathrm{eq}}^{\prime }=4,25\times \frac{43,3}{7,0}=26\mathrm{mm}.$$

Le smartphone est un grand-angle (champ diagonal $2\arctan (3,5/4,25)=79^{\circ }$), qu'un photographe décrirait comme « un 26 mm ». La focale équivalente est la focale réelle multipliée par le rapport des diagonales, ici $6,2$.

4) La Lune. $\alpha =0,52^{\circ }=9,08\times 10^{-3}\mathrm{rad}$. Plein format : $h^{\prime }=50\times 9,08\times 10^{-3}=0,45\mathrm{mm}$, soit $2\%$ de la hauteur du capteur. Smartphone : $h^{\prime }=4,25\times 9,08\times 10^{-3}=3,9\times 10^{-2}\mathrm{mm}=39\mu \mathrm{m}$, soit trente-neuf photosites de diamètre : la Lune est une tache de quelques pixels, sans aucun détail.

5) Le téléobjectif. Il faut $f^{\prime }\alpha =24\mathrm{mm}$, soit $f^{\prime }=24/(9,08\times 10^{-3})=2,6\times 10^3\mathrm{mm}=2,6\mathrm{m}$ : la focale d'un télescope d'amateur. La taille de l'image est proportionnelle à la focale ; c'est la focale, et non le capteur, qui fixe le grossissement. Un zoom numérique ne fait que recadrer et agrandir les pixels existants : les trente-neuf photosites de la Lune restent trente-neuf, aucun détail n'apparaît. Pour grossir sans perte, il faut une focale réelle plus longue : d'où les plusieurs objectifs des smartphones (ultra grand-angle, grand-angle, téléobjectif), chacun avec sa focale.

Homogénéité. $h^{\prime }=f^{\prime }\alpha$ : une longueur fois un angle sans dimension. Cas limite : $f^{\prime }\to 0$, champ $\to 180^{\circ }$ : la relation des petits angles n'a alors plus cours.

Ce que l'exercice installe. Le foyer secondaire donne la loi fondamentale de l'appareil photographique réglé sur l'infini : taille de l'image $=f^{\prime }\times$ diamètre apparent. Elle fixe le champ (rapport capteur sur focale), la focale équivalente et le grossissement. Ordres de grandeur : $50\mathrm{mm}$ pour $47^{\circ }$ de champ sur plein format, quelques millimètres de focale réelle sur un smartphone.