Œil réduit et amplitude d'accommodation

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le modèle de l'œil du cours (lentille de vergence variable, rétine fixe) et la relation de conjugaison de Descartes, $\frac{1}{\overline{O{A}^{\prime }}}-\frac{1}{\overline{OA}}=V$, ainsi que la relation de Newton $\overline{FA}\cdot \overline{F^{\prime }{A}^{\prime }}=-f^{\prime 2}$. La stratégie est de remarquer que la seule grandeur qui varie quand l'objet se déplace est $1/\overline{OA}$, et de raisonner sur elle.

1) La condition de vision nette. Le punctum remotum est le point le plus éloigné vu net sans accommoder (vergence minimale) ; le punctum proximum est le point le plus proche vu net en accommodant au maximum (vergence maximale). L'œil voit net $A$ lorsque l'image $A^{\prime }$ est sur la rétine, c'est-à-dire $\overline{O{A}^{\prime }}=d$. La relation de Descartes s'écrit alors, avec $\overline{OA}=-D_A$ : $$V=\frac{1}{d}-\frac{1}{\overline{OA}}=\frac{1}{d}+\frac{1}{D_A}.$$ Au repos, l'œil normal voit l'infini : $1/D_A=0$ et $$V_{\infty }=\frac{1}{0,017\mathrm{m}}=58,8\delta \approx 59\delta .$$ Au PP, $D_A=0,25\mathrm{m}$ : $$V_{PP}=58,8+\frac{1}{0,25}=58,8+4,0=62,8\delta \approx 63\delta .$$ Ordre de grandeur. Une soixantaine de dioptries : l'œil est un système très convergent (focale de l'ordre de $17\mathrm{mm}$).

2) L'amplitude d'accommodation. Par différence des deux relations du 1), le terme $1/d$ s'élimine : $$A=V_{PP}-V_{PR}=\left(\frac{1}{d}+\frac{1}{D_{PP}}\right)-\left(\frac{1}{d}+\frac{1}{D_{PR}}\right)=\frac{1}{D_{PP}}-\frac{1}{D_{PR}}.$$ L'amplitude ne dépend que des positions des deux points extrêmes vus net, pas de la profondeur de l'œil. Pour l'œil normal, $A=4,0-0=4,0\delta$. Pour l'enfant, $A=\frac{1}{0,08}=12,5\delta$ : l'amplitude d'accommodation diminue avec l'âge (le cristallin perd sa souplesse), ce qu'on retrouvera avec la presbytie.

Le point de vue qui simplifie tout. La grandeur $1/D_A$, inverse de la distance de l'objet, s'exprime en dioptries comme une vergence ; on l'appelle proximité de l'objet. L'œil voit net exactement les objets dont la proximité est comprise entre $1/D_{PR}$ et $1/D_{PP}$ : sa plage d'accommodation est un intervalle de proximités de largeur $A$. L'infini a la proximité zéro, le PP de l'œil normal la proximité $4\delta$.

3) Le foyer image se déplace. Au repos, l'œil normal forme l'image de l'infini sur la rétine : par définition du foyer image, $F^{\prime }$ est sur la rétine, $f^{\prime }=d=17\mathrm{mm}$. Au PP : $$f_{PP}^{\prime }=\frac{1}{V_{PP}}=\frac{1}{62,8}=15,92\mathrm{mm},\overline{F^{\prime }{A}^{\prime }}=d-f_{PP}^{\prime }=1,08\mathrm{mm}.$$ Quand l'œil accommode, $F^{\prime }$ avance d'environ un millimètre vers la lentille, tandis que l'image reste sur la rétine : c'est ce que montre la figure du cours (cristallin bombé).

Vérification par Newton. $\overline{OF}=-f_{PP}^{\prime }=-15,92\mathrm{mm}$, donc $\overline{FA}=\overline{OA}-\overline{OF}=-250+15,92=-234,08\mathrm{mm}$. Alors $$\overline{FA}\cdot \overline{F^{\prime }{A}^{\prime }}=-234,08\times 1,08=-253,4\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2,-f_{PP}^{\prime 2}=-(15,92{)}^2=-253,4\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2.$$ Les deux membres coïncident. Newton est ici la formule naturelle : la petite distance qui compte, $\overline{F^{\prime }{A}^{\prime }}$, se mesure depuis le foyer.

4) Un œil trop long. La vergence minimale reste $V_{\infty }=58,8\delta$, mais la rétine est à $d=17,5\mathrm{mm}$. Le PR est l'objet vu net à cette vergence : $$\frac{1}{D_{PR}}=V_{\infty }-\frac{1}{d}=58,82-57,14=1,68\delta ,D_{PR}=0,59\mathrm{m}.$$ Un œil trop long d'un demi-millimètre — trois pour cent de sa longueur — ne voit plus net au-delà de soixante centimètres : il est myope.

Cas limite. Si $d=1/V_{\infty }$ exactement, $1/D_{PR}=0$ : on retrouve l'œil normal. La sensibilité est énorme parce que $1/d$ et $V_{\infty }$ sont deux grands nombres voisins dont on prend la différence.

Ce que l'exercice installe. Raisonner en proximités (inverses des distances, en dioptries) : la condition de vision nette devient affine, $V=1/d+1/D_A$, la plage d'accommodation devient un intervalle de largeur $A$ indépendante de l'œil, et un défaut de quelques dixièmes de millimètre se lit comme un décalage de cet intervalle. Ordres de grandeur à retenir : environ $60\delta$, une amplitude de quelques dioptries, et le foyer qui avance d'un millimètre.