Limite de résolution angulaire de l'œil

Ce qu'on a le droit d'utiliser. L'approximation des petits angles ($\tan \alpha \approx \alpha$ en radians) et le rayon passant par le centre optique, non dévié. La stratégie : traduire la limite angulaire en une taille sur le détecteur, puis la comparer aux deux limites physiques, le grain du capteur et la diffraction.

1) La traduction sur la rétine. Une minute d'arc vaut $${\alpha }_{\min }=\frac{1}{60}\times \frac{\pi }{180}=2,9\times 10^{-4}\mathrm{rad}\approx 3\times 10^{-4}\mathrm{rad}.$$ Construction. Les rayons issus de chacun des deux points et passant par le centre optique $O$ ne sont pas déviés ; ils font entre eux l'angle $\alpha$ et vont frapper la rétine en deux points $A_1^{\prime }$, $A_2^{\prime }$. Par les petits angles, la distance de ces points vaut $$\delta =\alpha \overline{O{A}^{\prime }}=2,9\times 10^{-4}\times 17\mathrm{mm}=4,9\mu \mathrm{m}\approx 5\mu \mathrm{m}.$$ C'est deux espacements de cônes : pour que deux points soient perçus séparés, il faut au moins un cône peu éclairé entre deux cônes éclairés. La limite angulaire de l'œil est donc celle qu'impose le grain de son capteur. C'est la capacité « relier le stigmatisme approché aux caractéristiques d'un détecteur », appliquée à l'œil.

2) La diffraction. $$\frac{\lambda }{D}=\frac{550\times 10^{-9}}{3\times 10^{-3}}=1,8\times 10^{-4}\mathrm{rad},$$ soit $0,6^{\prime }$ : du même ordre que ${\alpha }_{\min }$. L'œil est remarquablement « équilibré » : la diffraction par la pupille, le grain de la rétine (et les aberrations du cristallin, non étudiées ici) donnent tous une limite de l'ordre de la minute d'arc.

3) Deux applications directes. Deux traits distants de $e$, vus à la distance $L$, sont vus sous l'angle $\alpha \approx e/L$. Ils sont séparés si $e/L\ge {\alpha }_{\min }$, soit $$L\le \frac{e}{{\alpha }_{\min }}=\frac{10^{-3}}{3\times 10^{-4}}=3,3\mathrm{m}.$$ À $25\mathrm{cm}$, le plus petit détail vaut ${\alpha }_{\min }\times 0,25\mathrm{m}=7,5\times 10^{-5}\mathrm{m}=75\mu \mathrm{m}$, l'épaisseur d'un cheveu : c'est bien à la limite de ce qu'on distingue en lisant.

4) Les phares. $$L_{\max }=\frac{1,40}{3\times 10^{-4}}=4,7\times 10^3\mathrm{m}\approx 4,7\mathrm{km}.$$ À $5\mathrm{km}$, l'écart angulaire vaut $1,40/5000=2,8\times 10^{-4}\mathrm{rad}$, juste sous la limite : on voit une seule source lumineuse, dont on ne sait pas dire si c'est une voiture ou une moto. (Ne pas confondre : $3,3$ mètres pour un millimètre, $4,7$ kilomètres pour un mètre quarante.)

Homogénéité et cas limite. $L_{\max }=e/{\alpha }_{\min }$ est une longueur, ${\alpha }_{\min }$ étant sans dimension. Si ${\alpha }_{\min }\to 0$ (détecteur parfait), $L_{\max }\to \infty$ : c'est la diffraction, d'après le 2), qui interdit cette limite.

Ce que l'exercice installe. Une limite angulaire se traduit en taille sur le détecteur par le rayon qui passe par le centre optique : $\delta =\alpha \times$ (distance lentille-capteur). On compare ensuite cette taille au grain du capteur et à la diffraction. Le même raisonnement fixera la taille utile des pixels d'un appareil photographique. Ordre de grandeur à retenir : une minute d'arc, $3\times 10^{-4}\mathrm{rad}$, cinq micromètres sur la rétine.