Mise au point et tirage

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Les relations de conjugaison de Descartes et de Newton (les deux sont exigibles) et le grandissement de Newton, $\gamma =-\overline{F^{\prime }{A}^{\prime }}/f^{\prime }=-f^{\prime }/\overline{FA}$. La stratégie : le tirage est par définition une distance comptée depuis le foyer image, et la position de l'objet se compte naturellement depuis le foyer objet. C'est le cas d'école où Newton s'impose.

1) Le tirage. Réglé sur l'infini, le capteur est dans le plan focal image, en $F^{\prime }$. Pour un objet à distance finie, l'image $A^{\prime }$ est au-delà de $F^{\prime }$, et il faut que le capteur soit en $A^{\prime }$ : on écarte l'objectif de $\overline{F^{\prime }{A}^{\prime }}$. L'objet est en $\overline{OA}=-D_A$ et $\overline{OF}=-f^{\prime }$, donc $\overline{FA}=\overline{OA}-\overline{OF}=-(D_A-f^{\prime })$. La relation de Newton donne directement

$$\overline{F^{\prime }{A}^{\prime }}=-\frac{f^{\prime 2}}{\overline{FA}}=\frac{f^{\prime 2}}{D_A-f^{\prime }}.$$

Pour $D_A=2000\mathrm{mm}$ :

$$\overline{F^{\prime }{A}^{\prime }}=\frac{50^2}{2000-50}=\frac{2500}{1950}=1,28\mathrm{mm}.$$

Vérification par Descartes. $\frac{1}{\overline{O{A}^{\prime }}}=\frac{1}{50}-\frac{1}{2000}=0,0195\mathrm{m}{\mathrm{m}}^{-1}$, donc $\overline{O{A}^{\prime }}=51,28\mathrm{mm}$ : le capteur est à $51,28\mathrm{mm}$ de l'objectif, à $1,28\mathrm{mm}$ de $F^{\prime }$. Même résultat, mais Descartes a demandé de calculer $51,28$ pour en retirer $50$ : la petite quantité utile est obtenue comme différence de deux grandes. Newton la donne d'un coup.

Approximation. Pour $D_A\gg f^{\prime }$, $\overline{F^{\prime }{A}^{\prime }}\approx f^{\prime 2}/D_A=1,25\mathrm{mm}$, à $2\%$ près. Le tirage décroît comme $1/D_A$ : quelques millimètres suffisent à passer de l'infini à quelques dizaines de centimètres.

2) La distance minimale de mise au point. Avec $\overline{F^{\prime }{A}^{\prime }}=5\mathrm{mm}$, Newton donne $\overline{FA}=-f^{\prime 2}/\overline{F^{\prime }{A}^{\prime }}=-2500/5=-500\mathrm{mm}$ : l'objet est à $500\mathrm{mm}$ devant le foyer objet, soit à $D_A=500+50=550\mathrm{mm}$ de la lentille. Le grandissement vaut

$$\gamma =-\frac{\overline{F^{\prime }{A}^{\prime }}}{f^{\prime }}=-\frac{5}{50}=-0,1:$$

l'image est renversée et dix fois plus petite que l'objet.

3) Cas limites. Objet à l'infini : $D_A\to \infty$, tirage nul, le capteur est en $F^{\prime }$ — c'est la définition du foyer image. Objet à $2f^{\prime }$ : $D_A-f^{\prime }=f^{\prime }$, tirage $f^{\prime }$, l'image est à $2f^{\prime }$ de la lentille et $\gamma =-1$ (reproduction « grandeur nature », la photographie dite macro). Il faut alors doubler la longueur de l'appareil : c'est pourquoi la macrophotographie demande des bagues allonges. Et l'on retrouve au passage que la distance objet-image vaut alors $4f^{\prime }$, la valeur minimale établie au chapitre des lentilles.

4) Le smartphone.

$$\begin{array}{rl}\overline{F^{\prime }{A}^{\prime }}& =\frac{4,25^2}{2000-4,25}\\ & =9,0\times 10^{-3}\mathrm{mm}\\ & =9\mu \mathrm{m}.\end{array}$$

Le tirage varie comme $f^{\prime 2}$ : diviser la focale par $50/4,25\approx 12$ le divise par $138$. Neuf micromètres, c'est quelques photosites : un objectif à courte focale réglé une fois pour toutes donne une image acceptable de un ou deux mètres à l'infini (on le quantifie par la distance hyperfocale).

Ce que l'exercice installe. Le choix entre Descartes et Newton n'est pas une affaire de goût : quand les grandeurs utiles se comptent depuis les foyers (tirage, position de l'objet par rapport à $F$), Newton donne la petite quantité directement, et le grandissement avec. Ordre de grandeur : un tirage voisin de $f^{\prime 2}/D_A$.