Nombre d'ouverture, durée d'exposition, flou de bougé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La loi $h^{\prime }=f^{\prime }\alpha$ (objet éloigné de diamètre apparent $\alpha$ : chaque bord est vu sous l'angle $\alpha /2$, et le rayon qui passe par $O$, non dévié, coupe le plan focal image à $f^{\prime }\alpha /2$ de l'axe) et le grandissement d'une lentille mince. La notion d'éclairement est donnée par l'énoncé : on ne fait que des rapports de flux et d'aires. La stratégie : un raisonnement par proportionnalité, sans aucune photométrie.

1) L'éclairement en $1/N^2$. Le flux qui traverse l'objectif est proportionnel à l'aire du diaphragme, $\pi D^2/4$, donc à $D^2$. Ce flux est réparti sur l'image de la zone, un disque de diamètre $f^{\prime }\alpha$, d'aire proportionnelle à $f^{\prime 2}$. L'éclairement, quotient des deux, vérifie $$E\propto \frac{D^2}{f^{\prime 2}}=\frac{1}{N^2}.$$ L'énergie reçue par unité de surface, $Et$, est donc proportionnelle à $t/N^2$. Le nombre d'ouverture est la seule grandeur qui compte : deux objectifs de focales différentes ouverts au même $N$ donnent le même éclairement — c'est pourquoi on gradue les objectifs en $N$ et non en $D$.

2) L'échelle des diaphragmes. Le rapport de deux valeurs successives vaut $\sqrt{2}\approx 1,41$ ($2/1,4$, $2,8/2$, $4/2,8$…, les valeurs étant arrondies : $11$ pour $11,3$). Multiplier $N$ par $\sqrt{2}$ divise $1/N^2$ par $2$ : chaque cran divise l'éclairement par deux, comme chaque cran de durée ($1/125$, $1/250$, $1/500$ s…). Les deux échelles se correspondent cran pour cran.

3) Même exposition. Il faut $t/N^2$ constant : $$t^{\prime }=t{\left(\frac{N^{\prime }}{N}\right)}^2=\frac{1}{125}\times {\left(\frac{2,8}{8}\right)}^2=9,8\times 10^{-4}\mathrm{s}\approx \frac{1}{1000}\mathrm{s}.$$ Trois crans d'ouverture ($8\to 5,6\to 4\to 2,8$) contre trois crans de durée ($1/125\to 1/250\to 1/500\to 1/1000$) : la règle des crans redonne le calcul.

4) Le flou de bougé. Le cycliste roule à $v=10\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$. Son image se déplace sur le capteur à la vitesse $|\gamma |v$, où le grandissement vaut, d'après Newton, $|\gamma |=\frac{f^{\prime }}{|\overline{FA}|}=\frac{f^{\prime }}{D_A-f^{\prime }}$ : $$|\gamma |=\frac{50}{20000-50}=2,51\times 10^{-3},v^{\prime }=|\gamma |v=2,51\times 10^{-2}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}=25\mathrm{mm}{\mathrm{s}}^{-1}.$$ Pendant la durée $t$, l'image glisse de $v^{\prime }t$ ; on veut $v^{\prime }t\le 6\mu \mathrm{m}$ : $$t_{\max }=\frac{6\times 10^{-6}}{2,51\times 10^{-2}}=2,4\times 10^{-4}\mathrm{s}\approx \frac{1}{4000}\mathrm{s}.$$ Ordre de grandeur. Un objet à $10\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ à vingt mètres impose déjà le quart de milliseconde : figer le sport demande des durées très courtes.

5) Le prix à payer. Par rapport au réglage $N=8$, $t=1/125\mathrm{s}$, la durée est divisée par $\frac{8\times 10^{-3}}{2,4\times 10^{-4}}=33$. Pour garder la même exposition, il faut diviser $N^2$ par $33$, donc $N$ par $\sqrt{33}=5,8$ : $$N=\frac{8}{5,8}=1,4,$$ la plus grande ouverture de la bague. On ouvre au maximum, et l'exercice 5 montrera que la profondeur de champ, proportionnelle à $N$ (en proximités), est alors réduite d'un facteur de l'ordre de six : le cycliste sera net, l'arrière-plan flou.

Cas limite. $v=0$ (paysage) : aucune contrainte de durée, on peut fermer le diaphragme autant qu'on veut et allonger $t$ sur un trépied.

Ce que l'exercice installe. L'éclairement du capteur varie en $1/N^2$ : c'est ce qui fait de $N$ (et non de $D$) le réglage de l'appareil, et de la suite en $\sqrt{2}$ l'échelle des diaphragmes. Durée d'exposition et ouverture s'échangent à $t/N^2$ constant, sous deux contraintes opposées : le flou de bougé (qui veut $t$ petit) et la profondeur de champ (qui veut $N$ grand).