Ce qu'on voit par une fenêtre : le retour inverse

La stratégie. « Que voit l'œil ? » est une question sur les rayons qui arrivent à l'œil ; elle est difficile parce que ces rayons viennent de partout. « Qu'éclaire une lampe placée à l'œil ? » est une question sur les rayons qui partent d'un point ; elle se résout par une construction. Le principe du retour inverse dit que ces deux familles de rayons sont les mêmes, parcourues en sens contraire.

1) La construction, puis l'équivalence. Construction : depuis le point $O$ (la lampe), on trace les deux rayons limites qui passent par les bords $B_1$ et $B_2$ de la fenêtre, et on les prolonge jusqu'à la façade, qu'ils coupent en $M_1$ et $M_2$. Tout rayon issu de $O$ et passant par la fenêtre est compris entre ces deux rayons ; tout rayon hors de cet angle est arrêté par le mur. La zone éclairée de la façade est le segment $[M_1{M}_2]$.

Équivalence. Soit $M$ un point de la façade. L'observateur voit $M$ si et seulement si un rayon issu de $M$ atteint $O$, c'est-à-dire si le segment $[MO]$ traverse la fenêtre (milieu homogène : le seul trajet possible entre $M$ et $O$ est la droite). Par le principe du retour inverse, ce même trajet parcouru de $O$ vers $M$ est un rayon de la lampe, et il atteint $M$ si et seulement si $M$ est éclairé. Donc la zone visible est exactement la zone éclairée $[M_1{M}_2]$. Le point délicat est de ne pas confondre les deux sens : ce sont les rayons qui arrivent à l'œil qui font la vision ; le retour inverse permet de les tracer comme s'ils en partaient.

2) La largeur visible. Les triangles $O{B}_1{B}_2$ et $O{M}_1{M}_2$ sont semblables, de sommet $O$, de hauteurs $a$ et $a+L$ (Thalès) : $$M_1{M}_2=\ell \frac{a+L}{a}=1,0\times \frac{2,0+20}{2,0}=11\mathrm{m}.$$ Homogénéité : une longueur multipliée par un rapport de longueurs.

3) Les cas limites. Quand $a\to 0$, $\ell (a+L)/a\to +\infty$ : l'œil collé à la vitre voit toute la façade (le champ est un demi-plan, de demi-angle $90^{\circ }$). Quand $a\to \infty$, $\ell (a+L)/a\to \ell$ : vu de très loin, la fenêtre découpe sur la façade une bande de sa propre largeur, comme si les rayons étaient parallèles. Entre les deux, le champ angulaire, de demi-angle $\arctan \frac{\ell }{2a}$, ne dépend que du rapport $\ell /a$ : c'est la règle connue de tous ceux qui ont cherché à voir plus loin par une fenêtre — on s'en approche.

4) « Si je vois ton œil, tu vois le mien. » Le passant en $M$ voit l'œil $O$ si un rayon va de $O$ à $M$ ; l'observateur voit $M$ si un rayon va de $M$ à $O$. Dans les deux cas, c'est le segment $[OM]$ qui doit traverser la fenêtre, et le principe du retour inverse dit que le trajet de $O$ à $M$ et celui de $M$ à $O$ sont le même : les deux conditions sont identiques. Nuance : « voir » suppose aussi que $M$ soit assez éclairé pour envoyer de la lumière ; le passant dans la rue ensoleillée voit mal l'observateur dans la pièce sombre, mais ce n'est pas une question de trajet, c'est une question de puissance (exercice 3).

5) Le judas sans lentille. L'œil est un point $O$ au centre de l'extrémité d'entrée ; les rayons qui l'atteignent ont traversé l'ouverture de sortie, de rayon $0,50$ cm, située à $e=5,0$ cm. Le rayon limite passe par le bord de l'ouverture de sortie : $$\tan \alpha =\frac{0,50}{5,0}=0,10,\alpha =5,7^{\circ }.$$ C'est un champ minuscule : à $2$ m de la porte, on voit un disque de $2\times 2\times 0,10=0,40$ m de diamètre, juste un visage. Le rayon le plus incliné capable de traverser le tube de part en part va d'un bord de l'entrée au bord opposé de la sortie : $\tan {\alpha }_{\max }=1,0/5,0$, soit ${\alpha }_{\max }=11,3^{\circ }$ ; l'œil ne peut en profiter qu'en se déplaçant devant l'ouverture. On comprendra au chapitre sur les lentilles pourquoi les vrais judas contiennent une lentille divergente : elle élargit le champ jusqu'à près de $90^{\circ }$ de demi-angle.

Ce que l'exercice installe. Le retour inverse comme méthode : pour savoir ce que voit un œil ou ce que capte un instrument, on place une source fictive à sa place et l'on construit la zone qu'elle éclaire. C'est ainsi qu'on déterminera le champ d'un appareil photographique ou d'une fibre (cône d'acceptance), et c'est ce principe qui garantit qu'une image formée par une lentille d'un objet $A$ en $A^{\prime }$ ferait, d'un objet en $A^{\prime }$, une image en $A$.