Éclairer une table : la loi en $1/r^2$

La stratégie. Le rayon lumineux est, dans le cours, la ligne le long de laquelle se propage l'énergie. Si l'énergie suit les rayons et que les rayons issus d'un point sont des demi-droites, la puissance qui traverse une sphère centrée sur la source est la même quel que soit son rayon. Tout le reste en découle.

1) La loi en inverse carré. Le milieu est transparent : aucune puissance n'est absorbée entre deux sphères concentriques de rayons $r_1<r_2$, et aucune ne sort d'un faisceau puisqu'elle suit les rayons. La puissance totale qui traverse la sphère de rayon $r$ est donc $P$, quel que soit $r$. Comme l'émission est isotrope, elle est répartie uniformément sur l'aire $4\pi r^2$, et chaque élément de la sphère est perpendiculaire aux rayons qui le traversent (ce sont des rayons de la sphère). D'où $$E_{\perp }(r)=\frac{P}{4\pi r^2}.$$ Homogénéité : des watts par mètre carré. Lecture : doubler la distance divise l'éclairement par quatre ; ce n'est pas une propriété de la lumière, c'est la conservation de l'énergie dans un faisceau qui s'élargit.

2) Le facteur $\cos \theta$. Une petite surface d'aire $\mathrm{d}S$, inclinée de $\theta$, intercepte exactement les rayons qui traverseraient sa projection perpendiculaire aux rayons, d'aire $\mathrm{d}S\cos \theta$. Elle reçoit donc la puissance $E_{\perp }\mathrm{d}S\cos \theta$, et son éclairement vaut $$E=\frac{E_{\perp }\mathrm{d}S\cos \theta }{\mathrm{d}S}=\frac{P\cos \theta }{4\pi r^2}.$$ C'est aussi pourquoi il fait plus froid en hiver : le Soleil plus bas éclaire le sol sous une incidence plus rasante.

3) L'éclairement au bord. Le bord de la table est à la distance $r=\sqrt{h^2+x^2}$ de la lampe, et la normale à la table est verticale ; l'angle entre le rayon et la verticale vérifie $\cos \theta =h/r$. Donc $$E(h)=\frac{P}{4\pi }\frac{h}{(h^2+x^2{)}^{3/2}}.$$

4) La hauteur optimale. Le facteur $P/4\pi$ est constant ; on étudie $f(h)=h(h^2+x^2{)}^{-3/2}$ sur $]0,+\infty [$. Sa dérivée vaut $$f^{\prime }(h)=(h^2+x^2{)}^{-3/2}-3h^2(h^2+x^2{)}^{-5/2}=\frac{x^2-2h^2}{(h^2+x^2{)}^{5/2}}.$$ Elle est positive pour $h<x/\sqrt{2}$ et négative ensuite : l'éclairement au bord est maximal pour $$h^{\ast }=\frac{x}{\sqrt{2}}=\frac{0,80}{1,414}=0,57\mathrm{m}.$$ Au centre, l'éclairement vaut $\frac{P}{4\pi h^{\ast 2}}$ (incidence normale, distance $h^{\ast }$). Au bord, $h^{\ast 2}+x^2=\frac{3}{2}{x}^2=3h^{\ast 2}$, donc $E_{\text{bord}}=\frac{P}{4\pi }\frac{h^{\ast }}{(3h^{\ast 2}{)}^{3/2}}=\frac{P}{4\pi h^{\ast 2}}\cdot \frac{1}{3\sqrt{3}}$. Le rapport vaut $$\frac{E_{\text{centre}}}{E_{\text{bord}}}=3\sqrt{3}\approx 5,2.$$ Lecture : même à la hauteur optimale, le centre de la table est cinq fois plus éclairé que le bord ; c'est pourquoi on éclaire une grande table avec plusieurs lampes, et non avec une seule placée plus haut.

5) Les deux cas limites. Quand $h\to 0$, $E\to 0$ comme $h/x^3$ : la lampe posée sur la table éclaire le bord en incidence rasante, $\cos \theta \to 0$, et toute la puissance passe au-dessus de la surface. Quand $h\to \infty$, $E\sim P/(4\pi h^2)\to 0$ : l'incidence redevient normale, mais la lampe est trop loin, l'inverse carré l'emporte. Entre deux effets qui annulent l'éclairement aux deux bouts, il y a nécessairement un maximum : c'est celui du 4). La valeur de $h^{\ast }$ est proportionnelle à $x$, ce que l'analyse dimensionnelle imposait : la seule longueur du problème est $x$.

6) La puissance du Soleil. Au-dessus de l'atmosphère, il n'y a aucune absorption entre le Soleil et la Terre ; la loi du 1) s'applique avec $r=1\mathrm{UA}$ : $$P_{\odot }=4\pi r^2{E}_{\odot }=4\pi \times (1,496\times 10^{11}{)}^2\times 1361=3,8\times 10^{26}\mathrm{W}.$$ C'est la luminosité solaire, à moins de $1\%$ de la valeur admise ($3,83\times 10^{26}$ W). Une seule mesure d'éclairement, faite ici, a suffi à peser l'énergie d'une étoile.

Ce que l'exercice installe. Un faisceau transporte une puissance qui se conserve dans un milieu transparent : c'est le contenu physique du mot « rayon ». La loi en $1/r^2$ et le facteur d'incidence $\cos \theta$ reviennent partout où l'on éclaire quelque chose — un capteur photographique, une cellule solaire, la rétine. Et l'étude d'une fonction qui s'annule aux deux bouts est le premier réflexe devant une question d'optimum.