Le retard optique

La stratégie. Deux propriétés du cours, la conservation de la fréquence et la relation $v=c/n$, suffisent. L'enjeu est d'en tirer une idée plus féconde : traverser une épaisseur $e$ de milieu d'indice $n$ revient, du point de vue de la durée et du nombre d'oscillations, à parcourir $ne$ dans le vide.

1) Ce qui change et ce qui ne change pas. À l'interface, le champ de l'onde dans l'eau est imposé, à chaque instant, par celui de l'onde incidente : il oscille au même rythme. La fréquence est conservée : $$f=\frac{c}{{\lambda }_0}=\frac{3,00\times 10^8}{600\times 10^{-9}}=5,00\times 10^{14}\mathrm{Hz}.$$ La vitesse devient $v=c/n=2,26\times 10^8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, et la longueur d'onde, distance parcourue pendant une période, $$\lambda =\frac{v}{f}=\frac{{\lambda }_0}{n}=\frac{600}{1,33}=451\mathrm{nm}.$$ Dans le vide, $451$ nm serait du bleu ; pourtant le nageur voit toujours de l'orangé. Les pigments de la rétine répondent à l'énergie des photons, c'est-à-dire à la fréquence, qui est la même partout ; la longueur d'onde, elle, dépend du milieu dans lequel on la mesure. Une couleur définie par une longueur d'onde « dans l'eau » ou « dans le verre » changerait de nom d'un milieu à l'autre : on la définit donc par ${\lambda }_0=c/f$, qui est une autre façon d'écrire la fréquence.

2) Durée de traversée et retard. Dans la lame, la lumière va à $v=c/n=2,0\times 10^8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ : $$\tau =\frac{e}{v}=\frac{ne}{c}=\frac{1,5\times 1,0\times 10^{-2}}{3,00\times 10^8}=5,0\times 10^{-11}\mathrm{s}=50\mathrm{ps}.$$ Pendant cette durée, la lumière aurait parcouru dans le vide $c\tau =ne=1,5$ cm. Le retard sur un rayon qui traverse la même épaisseur dans l'air vaut $$\Delta \tau =\frac{ne}{c}-\frac{e}{c}=\frac{(n-1)e}{c}=\frac{0,5\times 10^{-2}}{3,00\times 10^8}\approx 17\mathrm{ps}.$$ Ordre de grandeur : quelques dizaines de picosecondes. C'est infime à l'échelle humaine, mais c'est plus de huit mille périodes de l'onde ($\Delta \tau \times f\approx 8300$ ; voir le 3)) : pour une onde, c'est énorme.

3) Le chemin optique. La lame contient $$\frac{e}{\lambda }=\frac{ne}{{\lambda }_0}=\frac{1,5\times 10^{-2}}{600\times 10^{-9}}=25000$$ longueurs d'onde, contre $e/{\lambda }_0=16667$ pour la même épaisseur de vide. Les deux résultats du 2) et du 3) disent la même chose : la lame se comporte, pour la durée de traversée comme pour le nombre d'oscillations, comme une épaisseur $ne$ de vide. C'est le chemin optique. Cas limite : $n\to 1$ redonne le vide, le retard s'annule. La différence de $8333$ longueurs d'onde est ce qui permettra, en interférométrie, de mesurer des épaisseurs ou des indices au millième près.

4) La course entre Chicago et New York. Les deux durées sont des chemins optiques divisés par $c$ : $$t_{\text{fibre}}=\frac{1,47\times 1,330\times 10^6}{2,998\times 10^8}=6,52\mathrm{ms},t_{\text{air}}=\frac{1,0003\times 1,190\times 10^6}{2,998\times 10^8}=3,97\mathrm{ms}.$$ Le faisceau hertzien arrive $2,55$ ms plus tôt, soit $5,1$ ms sur un aller-retour. Une fibre posée en ligne droite ne mettrait encore que $1,47\times 1,190\times 10^6/2,998\times 10^8=5,83$ ms : la ligne droite ne suffit pas, c'est l'indice qui coûte. Le facteur $1,47$ de la silice représente $47\%$ de durée en plus, et aucun tracé ne le rattrape. Ces quelques millisecondes valent cher : en 2010, des opérateurs ont construit des chaînes de relais hertziens entre les deux villes, pour des ordres de bourse plus rapides que la fibre la plus directe. Ouverture : les fibres « à cœur creux », où la lumière se propage dans l'air, visent précisément à ramener l'indice effectif près de $1$.

Ce que l'exercice installe. La fréquence est l'invariant d'un milieu à l'autre, la longueur d'onde ne l'est pas ; la couleur suit la fréquence. Et traverser $\ell$ dans un milieu d'indice $n$ équivaut à parcourir $n\ell$ dans le vide : cette idée de chemin optique resservira dès le chapitre sur les instruments, où deux rayons d'une fibre à saut d'indice arrivent avec des retards différents (dispersion intermodale), et plus tard pour toutes les interférences.