Le spectre de l'hydrogène

La stratégie. Le programme demande de « caractériser une source par son spectre » et de « relier la longueur d'onde dans le vide à la couleur ». On fait les deux sur l'exemple historique : on calcule les raies, on les place sur l'échelle du visible (de 400 nm, violet, à 800 nm, rouge, figure du cours), puis on utilise ces raies comme une empreinte.

1) Les cinq premières raies. On calcule ${\lambda }_0=\frac{1}{R_H(1/4-1/n^2)}$ :

Quatre raies sont nettement visibles ($n=3$ à $6$) ; la cinquième est au bord du domaine visible, et l'œil ne la perçoit pratiquement plus. Vérification sur la première : $R_H\times 5/36=1,524\times 10^6{\mathrm{m}}^{-1}$, dont l'inverse vaut $6,563\times 10^{-7}$ m. Homogénéité : $R_H$ est l'inverse d'une longueur, la parenthèse est sans dimension, donc $1/{\lambda }_0$ est bien l'inverse d'une longueur.

2) Le resserrement et la limite. La fonction $n\mapsto 1/4-1/n^2$ est croissante et tend vers $1/4$ ; ses accroissements successifs, $\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1{)}^2}=\frac{2n+1}{n^2(n+1{)}^2}$, décroissent comme $2/n^3$. Les valeurs de $1/{\lambda }_0$ s'accumulent donc vers $R_H/4$ : les raies se resserrent du côté violet. La limite de la série vaut $${\lambda }_{\infty }=\frac{4}{R_H}=\frac{4}{1,097\times 10^7}=364,6\mathrm{nm},$$ dans l'ultraviolet proche. Au-delà de la quatrième raie, la série quitte le visible.

3) Pourquoi les nébuleuses sont rouges. Une nébuleuse d'hydrogène est un gaz chaud et peu dense : elle émet un spectre de raies. La raie la plus intense du visible est la première, à $656,3$ nm (la raie « H alpha ») ; la raie bleue à $486$ nm est plusieurs fois plus faible. La couleur perçue est donc dominée par le rouge. C'est l'application directe de l'idée du cours : la couleur d'une source de raies se lit sur la position de ses raies intenses.

4) Émission et absorption. Un gaz qui émet certaines longueurs d'onde quand il est chaud absorbe ces mêmes longueurs d'onde quand il est traversé par un rayonnement de spectre continu. La surface du Soleil émet un spectre continu (comme un corps incandescent) ; la lumière traverse ensuite l'atmosphère solaire, plus froide, qui retire les longueurs d'onde propres à ses éléments : on voit un spectre continu troué de raies sombres (les raies de Fraunhofer). Les raies sombres à $656,3$ et $486,1$ nm coïncident avec les deux premières raies de Balmer calculées au 1) : l'atmosphère solaire contient de l'hydrogène. Le doublet à $589,0$ / $589,6$ nm est celui du sodium. C'est ainsi qu'on connaît la composition des étoiles sans y aller ; c'est aussi ainsi que l'hélium a été découvert dans le Soleil, en 1868, avant de l'être sur Terre.

5) La lampe inconnue. Aucune des cinq raies ne coïncide avec la liste du 1) : $656$ et $486$ nm, les deux raies les plus intenses de l'hydrogène, sont absentes, et la raie verte à $546,1$ nm n'appartient pas à la série. Ce n'est pas une lampe à hydrogène ; c'est le spectre caractéristique d'une lampe à vapeur de mercure (le doublet jaune $577,0$ / $579,1$ et la raie verte en sont la signature). Le piège : sur la seule raie bleue, $435,8$ nm (mercure) et $434,1$ nm (hydrogène) ne diffèrent que de $1,7$ nm. Un spectroscope qui ne résout pas mieux qu'environ $2$ nm, soit $\Delta \lambda /\lambda \approx 4\times 10^{-3}$, ne permet pas de trancher sur cette raie isolée ; il faut s'appuyer sur l'ensemble du spectre.

Ce que l'exercice installe. Un spectre de raies est une empreinte : on identifie une source par la liste de ses raies, jamais par une seule, et la précision de l'identification est celle du spectroscope. On retrouvera cette lecture à chaque fois qu'une lampe spectrale servira de référence en travaux pratiques — mesure d'indice au prisme, étalonnage d'un spectroscope.