Construire le rayon réfracté ; établir la condition de réflexion totale

La stratégie. La loi $n_1\sin i_1=n_2\sin i_2$ dit que deux longueurs sont égales : la projection sur le dioptre d'un segment de longueur $n_1$ porté par le rayon incident, et celle d'un segment de longueur $n_2$ porté par le rayon réfracté. La construction des deux cercles matérialise exactement cette égalité. Dès lors, tout ce que dit la loi se lit sur la figure — y compris le moment où elle n'a plus de solution.

1) Pourquoi $IQ$ est le rayon réfracté. Le prolongement du rayon incident au-delà de $I$ fait avec la normale l'angle $i_1$ ; le point $P$ est à la distance $n_1$ de $I$ sur ce prolongement, donc à la distance $n_1\sin i_1$ de la normale. La droite menée par $P$ parallèlement à la normale est l'ensemble des points situés à cette même distance de la normale ; $Q$, qui est sur cette droite et sur le cercle de rayon $n_2$, vérifie donc $IQ=n_2$ et (distance de $Q$ à la normale) $=n_1\sin i_1$. En notant $i_2$ l'angle entre $IQ$ et la normale, cette distance vaut aussi $n_2\sin i_2$ : $$n_2\sin i_2=n_1\sin i_1.$$ Enfin $Q$ est dans le plan de la figure (plan d'incidence), du côté du milieu 2 et de l'autre côté de la normale par rapport au rayon incident. Les deux lois de la réfraction sont satisfaites : $IQ$ est le rayon réfracté.

2) La construction air → verre, pas à pas. On choisit l'échelle $1\mathrm{dm}$ pour un indice de $1$. (a) On trace le dioptre horizontal, la normale verticale en $I$, et les demi-cercles de rayons $10$ cm ($n_1=1,00$) et $15$ cm ($n_2=1,50$) sous le dioptre. (b) On trace le rayon incident à $50^{\circ }$ de la normale et on le prolonge sous le dioptre ; il coupe le petit cercle en $P$, à $10\sin 50^{\circ }=7,66$ cm de la normale. (c) On mène par $P$ la verticale ; elle coupe le grand cercle en $Q$, à $\sqrt{15^2-7,66^2}=12,9$ cm sous le dioptre. (d) On trace $IQ$ et on mesure son angle avec la normale : $\arctan (7,66/12,9)\approx 30,7^{\circ }$, ce que confirme le calcul $\arcsin (\sin 50^{\circ }/1,5)=30,71^{\circ }$. Lecture : la verticale issue de $P$ coupe le grand cercle plus près de la normale que le prolongement du rayon incident, parce que ce cercle est plus large : le rayon réfracté est entre le prolongement et la normale, il se rapproche de la normale. Une figure de cette construction est donnée dans le cours (section « Les lois de Snell-Descartes »).

3) L'échec de la construction et la réflexion totale. Si $n_1>n_2$, le cercle de rayon $n_1$ est maintenant le grand cercle. Le point $P$ est à la distance $n_1\sin i_1$ de la normale ; la verticale issue de $P$ ne recoupe le petit cercle (rayon $n_2$) que si cette distance ne dépasse pas $n_2$ : $$n_1\sin i_1\le n_2⟺\sin i_1\le \frac{n_2}{n_1}.$$ La valeur limite $i_{\lim }$ est celle pour laquelle la verticale issue de $P$ est tangente au petit cercle : $Q$ est alors sur le dioptre, le rayon réfracté est rasant ($i_2=90^{\circ }$), et $$\sin i_{\lim }=\frac{n_2}{n_1}.$$ Pour $i_1>i_{\lim }$, la verticale passe à côté du petit cercle : il n'existe aucun point $Q$, donc aucun angle $i_2$ vérifiant la loi, donc aucun rayon réfracté. La lumière ne pouvant disparaître (exercice 1 : seule la réflexion reste possible), elle est intégralement réfléchie : c'est la réflexion totale. Pour verre → air, $i_{\lim }=\arcsin (1/1,5)=41,8^{\circ }$. Le point délicat : la condition ne peut exister que si $n_1>n_2$ ; dans le cas air → verre, $n_1\sin i_1\le n_1<n_2$ et la verticale coupe toujours le grand cercle. On a établi, géométriquement, la condition de réflexion totale exigée par le programme.

4) La déviation maximale. La déviation vaut $\delta =i_1-i_2$ avec $\sin i_2=\sin i_1/n$ ($n=n_2/n_1>1$). En dérivant la loi, $\cos i_2\mathrm{d}{i}_2=\frac{\cos i_1}{n}\mathrm{d}{i}_1$, d'où $$\frac{\mathrm{d}\delta }{\mathrm{d}{i}_1}=1-\frac{\cos i_1}{n\cos i_2}=1-\frac{\cos i_1}{\sqrt{n^2-{\sin }^2{i}_1}}>0,$$ car $n^2-{\sin }^2{i}_1>1-{\sin }^2{i}_1={\cos }^2{i}_1$. La déviation croît donc avec $i_1$ et est maximale en incidence rasante, $i_1=90^{\circ }$, où $i_2$ atteint l'angle limite du dioptre : $${\delta }_{\max }=90^{\circ }-\arcsin \frac{1}{n}=90^{\circ }-41,8^{\circ }=48,2^{\circ }(\text{verre}),90^{\circ }-48,8^{\circ }=41,2^{\circ }(\text{eau}).$$ Lecture : tous les rayons qui entrent dans l'eau depuis l'air, sous toutes les incidences, sont contenus dans un cône de demi-angle $48,8^{\circ }$ ; c'est la « fenêtre de Snell » de l'exercice 6, vue depuis l'entrée — le même angle limite sert dans les deux sens, par retour inverse.

5) Jusqu'où les petits angles ? On compare $i_2^{\text{Kepler}}=i_1/n$ et $i_2=\arcsin (\sin i_1/n)$. Un tableau de valeurs (ou une boucle de quelques lignes) donne une erreur relative de $0,28\%$ à $10^{\circ }$, $1,00\%$ à $18,6^{\circ }$, $1,16\%$ à $20^{\circ }$ et $2,7\%$ à $30^{\circ }$ : la loi linéarisée est valable à $1\%$ près jusqu'à environ $19^{\circ }$. Cas limite : quand $i_1\to 0$, $\sin i\approx i$ et l'erreur tend vers zéro comme $i_1^2$ (développement $\sin x=x-x^3/6$). C'est l'annonce de l'approximation de Gauss du chapitre suivant : la loi de la réfraction devient linéaire pour les rayons peu inclinés.

Ce que l'exercice installe. La loi de la réfraction comme une égalité de projections, qu'on peut construire ; et la condition de réflexion totale comme la condition d'existence d'une solution à cette égalité. La réflexion totale n'est pas une loi de plus : c'est Snell-Descartes qui n'a plus de solution. Et la loi linéarisée $n_1{i}_1=n_2{i}_2$, valable aux petits angles, sera la clé de tout le stigmatisme approché.