La lame à faces parallèles

La stratégie. Deux réfractions sur deux dioptres parallèles ont la même normale : la seconde défait la première. Le résultat est un rayon parallèle, et tout l'effet de la lame se réduit à une translation qu'on calcule par la géométrie d'un triangle.

1) Le parallélisme. À l'entrée, $\sin i=n\sin r$. Les faces étant parallèles, la normale à la face de sortie est parallèle à celle d'entrée, et le rayon intérieur l'atteint sous l'angle $r$ (angles alternes-internes). À la sortie, $n\sin r=\sin i^{\prime }$. Donc $\sin i^{\prime }=\sin i$, et, les deux angles étant aigus, $i^{\prime }=i$ : le rayon émergent est parallèle au rayon incident. C'est aussi le retour inverse : la seconde réfraction est la première parcourue à l'envers.

2) Le décalage. Notons $I$ le point d'entrée et $J$ le point de sortie. La longueur parcourue dans la lame vaut $IJ=e/\cos r$ (la composante normale de $IJ$ est l'épaisseur $e$). Le décalage est la distance de $J$ au prolongement du rayon incident ; ce prolongement fait avec $IJ$ l'angle $i-r$. Dans le triangle rectangle formé par $I$, $J$ et le pied de la perpendiculaire, $$d=IJ\sin (i-r)=e\frac{\sin (i-r)}{\cos r}.$$

3) Application. $\sin r=\sin 45^{\circ }/1,5=0,471$, d'où $r=28,1^{\circ }$ ; puis $$d=0,020\times \frac{\sin (16,9^{\circ })}{\cos (28,1^{\circ })}=0,020\times \frac{0,290}{0,882}=6,6\mathrm{mm}.$$ Un tiers de l'épaisseur : à travers une vitre épaisse regardée en biais, un trait vertical paraît nettement décalé.

4) Petits angles et cas limites. Aux petits angles, $\sin (i-r)\approx i-r$, $\cos r\approx 1$ et $r\approx i/n$ : $$d\approx ei\left(1-\frac{1}{n}\right).$$ Pour $i=10^{\circ }$, l'approximation donne $0,0582e$ contre $0,0589e$ exactement ; à $45^{\circ }$, elle donne $5,2$ mm au lieu de $6,6$ mm, et n'est plus acceptable. Cas $i\to 0$ : $d\to 0$, le rayon traverse sans être dévié ni décalé (le rayon normal n'est jamais dévié, puisque $\sin i=0$ impose $\sin r=0$). Cas $i\to 90^{\circ }$ : $r\to i_{\lim }$ et $\sin (90^{\circ }-r)/\cos r=1$, donc $d\to e$ : le décalage est borné par l'épaisseur. Cas $n\to 1$ : $d\to 0$, la lame disparaît (exercice 1). Une vitre de $4$ mm regardée de face, $i\approx 0$, donne un décalage nul ; même à $20^{\circ }$, $d\approx 4\times 0,35\times (1-1/1,5)\approx 0,5$ mm, invisible à l'œil à quelques mètres.

5) Le micromètre optique. La lame tournée de $\theta$ reçoit le faisceau sous l'incidence $i=\theta$. Aux petits angles, le décalage vaut $d\approx e\theta (1-1/n)$ : $$\frac{d}{\theta }=10\mathrm{mm}\times \frac{1}{3}=3,3\mathrm{mm}\mathrm{ra}{\mathrm{d}}^{-1}\approx 0,058\mathrm{mm}\text{par degreˊ}.$$ Une rotation d'un degré, facile à lire sur un tambour gradué, déplace le faisceau de $58\mu \mathrm{m}$, sans changer sa direction. C'est un réducteur de mouvement optique : il transforme une grande rotation en une petite translation, proportionnelle tant que l'angle reste petit. On l'utilise dans les niveaux de précision des géomètres et dans certains microscopes de mesure.

Ce que l'exercice installe. Deux dioptres parallèles se compensent en direction et laissent une translation ; le rayon normal n'est jamais dévié. L'étude d'une formule par ses cas limites ($i\to 0$, $i\to 90^{\circ }$, $n\to 1$) est le réflexe qui en vérifie l'exactitude. Et la lame sera, au chapitre suivant, un exemple de système qui ne donne pas d'image parfaite : le décalage dépend de l'incidence.