Le prisme : émergence et minimum de déviation

La stratégie. Le prisme, c'est deux dioptres plans non parallèles : contrairement à la lame, la seconde réfraction ne défait plus la première. On écrit Snell-Descartes deux fois, la géométrie du triangle relie les deux angles internes, et la déviation est la somme des deux coudes. Pour le minimum, au lieu de dériver, on utilise une symétrie.

1) Les quatre relations. Les deux premières sont les lois de la réfraction en entrée et en sortie (l'air a l'indice $1$). Géométrie : les normales aux deux faces, tracées aux points d'incidence $I$ et $J$, se coupent en un point $K$ ; dans le quadrilatère formé par le sommet du prisme, $I$, $K$ et $J$, les angles en $I$ et $J$ sont droits, donc l'angle en $K$ vaut $180^{\circ }-A$. Dans le triangle $IJK$, les angles en $I$ et $J$ sont $r$ et $r^{\prime }$ : $r+r^{\prime }+(180^{\circ }-A)=180^{\circ }$, soit $$r+r^{\prime }=A.$$ Déviation : en $I$, le rayon tourne de $i-r$ vers la base ; en $J$, de $i^{\prime }-r^{\prime }$, dans le même sens. La déviation totale est la somme : $D=(i-r)+(i^{\prime }-r^{\prime })=i+i^{\prime }-A$.

2) La condition d'émergence. Le rayon ne sort par la seconde face que si $r^{\prime }\le i_{\lim }$, avec $\sin i_{\lim }=1/n$ ; et l'on a toujours $r\le i_{\lim }$ (un rayon qui entre depuis l'air se réfracte sous un angle au plus égal à l'angle limite, exercice 2). Donc $A=r+r^{\prime }\le 2i_{\lim }$ est nécessaire : si $A>2i_{\lim }=83,6^{\circ }$ (pour $n=1,50$), aucun rayon ne ressort. Pour $A=60^{\circ }$, la condition $r^{\prime }=A-r\le i_{\lim }$ impose $r\ge A-i_{\lim }=18,19^{\circ }$, soit $$\sin i\ge n\sin (A-i_{\lim })=1,50\times \sin 18,19^{\circ }=0,468,i\ge i_0=27,9^{\circ }.$$ En dessous de $27,9^{\circ }$, la lumière est totalement réfléchie par la seconde face.

3) Deux incidences rasantes, une même déviation. Pour $i=i_0$, le rayon sort en rasant la seconde face, $i^{\prime }=90^{\circ }$ : $D=27,9^{\circ }+90^{\circ }-60^{\circ }=57,9^{\circ }$. Pour $i=90^{\circ }$, $r=i_{\lim }$, $r^{\prime }=60^{\circ }-41,81^{\circ }=18,19^{\circ }$, $\sin i^{\prime }=1,5\sin 18,19^{\circ }$, donc $i^{\prime }=27,9^{\circ }$ et $D=57,9^{\circ }$. Les deux déviations sont égales, et ce n'est pas un hasard : le trajet « entrée rasante, sortie à $27,9^{\circ }$ » est le trajet « entrée à $27,9^{\circ }$, sortie rasante » parcouru à l'envers, et la déviation, somme de $i$ et $i^{\prime }$, ne dépend pas du sens. C'est la vérification d'un cas limite qui annonce l'argument du 4).

4) Le minimum de déviation par le retour inverse. Par le retour inverse, si un rayon entrant sous $i$ ressort sous $i^{\prime }$ avec la déviation $D$, alors un rayon entrant sous $i^{\prime }$ ressort sous $i$, avec la même déviation $D=i+i^{\prime }-A$. Autrement dit $D(i)=D(i^{\prime })$ : les incidences $i$ et $i^{\prime }$ donnent toujours la même déviation. Si le minimum était atteint pour une incidence $i_m$ avec une émergence $i_m^{\prime }\ne i_m$, il serait atteint aussi en $i_m^{\prime }$, et il y aurait deux minimums : c'est exclu par l'hypothèse d'unicité. Donc, au minimum, $i=i^{\prime }$, puis $r=r^{\prime }$ par les lois de la réfraction, et $r=r^{\prime }=A/2$ par la relation géométrique. Le trajet est symétrique : le rayon traverse le prisme parallèlement à sa base (pour un prisme isocèle). Alors $D_m=2i-A$, soit $i=\frac{A+D_m}{2}$, et la loi $\sin i=n\sin r$ donne $$n=\frac{\sin \frac{A+D_m}{2}}{\sin \frac{A}{2}}.$$ Numériquement, $\sin i_m=1,50\times \sin 30^{\circ }=0,75$, $i_m=48,6^{\circ }$ et $$D_m=2\times 48,59^{\circ }-60^{\circ }=37,2^{\circ }.$$ Un tableau de valeurs confirme : $D=47,1^{\circ }$ pour $i=30^{\circ }$, $38,5^{\circ }$ pour $40^{\circ }$, $37,18^{\circ }$ pour $48,6^{\circ }$, $37,21^{\circ }$ pour $50^{\circ }$, $38,9^{\circ }$ pour $60^{\circ }$, $49,2^{\circ }$ pour $80^{\circ }$. Lecture : la déviation varie très peu autour du minimum (moins de $0,2^{\circ }$ entre $45^{\circ }$ et $52^{\circ }$) ; c'est ce qui rend le minimum facile à repérer au goniomètre — on tourne le prisme, la raie s'arrête puis repart en arrière.

5) La dispersion et la mesure d'indice. Avec $D_m=2\arcsin (n\sin 30^{\circ })-60^{\circ }$ : $$D_m(F)=2\arcsin (0,76119)-60^{\circ }=39,14^{\circ },$$ $$D_m(C)=2\arcsin (0,75716)-60^{\circ }=38,43^{\circ }.$$ L'écart vaut $0,71^{\circ }$, soit $43^{\prime }$ : le bleu est plus dévié que le rouge, puisque son indice est plus grand (TD du chapitre 1). C'est la décomposition de la lumière blanche par le prisme de Newton. Précision : en dérivant la formule du 4) par rapport à $D_m$, $$\frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}{D}_m}=\frac{\cos \frac{A+D_m}{2}}{2\sin \frac{A}{2}}\approx 0,65\mathrm{ra}{\mathrm{d}}^{-1},$$ soit $1,9\times 10^{-4}$ par minute d'arc. Pour connaître $n$ à $2\times 10^{-4}$ près, il faut mesurer $D_m$ à une minute d'arc près : c'est la précision d'un goniomètre de travaux pratiques. On mesure ainsi l'indice à la quatrième décimale, assez pour distinguer un crown d'un flint et tracer une loi de Cauchy.

Ce que l'exercice installe. Un instrument se modélise par des lois connues (Snell-Descartes, géométrie) sans formule apprise. La condition d'émergence est une condition de non-réflexion totale. Et un extremum se trouve parfois par une symétrie plutôt que par une dérivée : si le problème est invariant par échange de $i$ et $i^{\prime }$ et que l'extremum est unique, il est atteint pour $i=i^{\prime }$. On retrouvera ce raisonnement pour la condition $D\ge 4f^{\prime }$ des lentilles (conjugaison symétrique) et, d'une autre façon, dans le problème.