Les prismes à réflexion totale

La stratégie. La réflexion totale est la seule réflexion sans perte que connaisse l'optique. On établit la condition pour qu'elle ait lieu, puis on chiffre sa robustesse : un instrument n'est utilisable que si un petit défaut d'alignement ne la détruit pas.

1) La condition $n\ge \sqrt{2}$. Le rayon entre sous incidence normale : il n'est pas dévié (exercice 3). Dans le triangle rectangle isocèle, l'hypoténuse fait $45^{\circ }$ avec la face d'entrée, donc sa normale fait $45^{\circ }$ avec le rayon : l'incidence sur l'hypoténuse vaut $45^{\circ }$. Il y a réflexion totale si $45^{\circ }\ge i_{\lim }$, c'est-à-dire $$\sin 45^{\circ }\ge \frac{1}{n}⟺n\ge \sqrt{2}=1,414.$$ Pour $n=1,50$, $i_{\lim }=41,8^{\circ }<45^{\circ }$ : la réflexion est totale, et le rayon, réfléchi symétriquement par rapport à la normale, tourne de $90^{\circ }$ et ressort perpendiculairement à l'autre petite face. C'est le prisme des périscopes et des jumelles.

2) La tolérance angulaire. À l'entrée, le rayon incliné de $\epsilon$ se réfracte sous ${\epsilon }^{\prime }$ avec $\sin \epsilon =n\sin {\epsilon }^{\prime }$. Sur l'hypoténuse, l'incidence devient $45^{\circ }\pm {\epsilon }^{\prime }$ selon le sens de l'inclinaison. Dans le sens qui augmente l'incidence, la réflexion reste totale quel que soit $\epsilon$. Dans le sens qui la diminue, il faut $45^{\circ }-{\epsilon }^{\prime }\ge 41,81^{\circ }$, soit ${\epsilon }^{\prime }\le 3,19^{\circ }$, puis $$\sin \epsilon \le 1,50\times \sin 3,19^{\circ }⟹\epsilon \le 4,8^{\circ }.$$ La tolérance est de $4,8^{\circ }$, d'un seul côté. Elle suffit pour un faisceau peu ouvert (le faisceau d'une paire de jumelles fait quelques degrés), mais elle explique qu'on n'utilise pas des verres d'indice à peine supérieur à $\sqrt{2}$ : la marge s'annulerait. Le point délicat : la réfraction d'entrée réduit l'écart angulaire d'un facteur $n$ environ, ce qui élargit la tolérance vue de l'extérieur ($4,8^{\circ }$ au lieu de $3,2^{\circ }$).

3) Le prisme de Porro. Le rayon entre par l'hypoténuse sous incidence normale, sans déviation ; il frappe la première petite face sous $45^{\circ }$, est totalement réfléchi et tourne de $90^{\circ }$ ; il traverse le prisme parallèlement à l'hypoténuse, frappe la seconde petite face, à nouveau sous $45^{\circ }$, et tourne encore de $90^{\circ }$ dans le même sens. Au total, il a tourné de $180^{\circ }$ : il ressort par l'hypoténuse, antiparallèle à sa direction d'entrée et décalé latéralement. Deux tels prismes croisés redressent l'image dans les jumelles « à prismes de Porro », tout en repliant le trajet, ce qui raccourcit l'instrument.

4) Le prisme mouillé. Avec de l'eau contre l'hypoténuse, le dioptre est verre/eau, d'angle limite $$i_{\lim }=\arcsin \frac{1,33}{1,50}=62,5^{\circ }>45^{\circ }.$$ L'incidence de $45^{\circ }$ est maintenant inférieure à l'angle limite : il n'y a plus de réflexion totale, la lumière passe en grande partie dans l'eau (seule reste la réflexion partielle, très faible, puisque les indices sont voisins : exercice 1). Le prisme « fuit ». Il faudrait $n_{\text{verre}}\ge 1,33\sqrt{2}=1,88$, un flint très dense. C'est pourquoi les prismes d'instruments sont scellés à l'abri de l'humidité, et c'est le principe des capteurs de pluie des pare-brise : une goutte sur le verre détruit une réflexion totale, et le détecteur cesse de recevoir le faisceau.

5) Prisme contre miroir. La réflexion totale renvoie $100\%$ de la lumière qui l'atteint. Les pertes du prisme sont aux deux faces traversées, $4\%$ chacune sans traitement : $0,96^2=92\%$ — à peine mieux qu'un miroir aluminisé ($\approx 90\%$). Mais un traitement antireflet ramène ces pertes à moins de $1\%$ au total, ce qu'aucun traitement ne fait pour l'absorption d'un métal ; et la réflexion totale ne ternit pas, ne s'oxyde pas. Avec quatre réflexions par lunette de jumelles, l'écart se cumule : $0,90^4=66\%$ pour des miroirs, contre plus de $95\%$ pour des prismes traités.

Ce que l'exercice installe. La réflexion totale est une réflexion parfaite à condition que l'indice et l'alignement le permettent : on chiffre la condition ($n\ge \sqrt{2}$ pour $45^{\circ }$) et la marge (quelques degrés, d'un côté). Elle dépend du milieu extérieur, et une goutte d'eau la détruit. Les pertes d'un instrument se comptent surface par surface, comme à l'exercice 1.