Profondeur apparente, hors des petits angles

La stratégie. « La piscine paraît moins profonde » est une affirmation sur l'image d'un point : l'endroit d'où semblent venir les rayons. On le calcule rayon par rayon, sans approximation, puis on regarde si tous les rayons s'accordent sur le même point.

1) La profondeur apparente d'un rayon. Le rayon issu de $A$ atteint la surface au point $I$, à la distance horizontale $x=h\tan r$ de la verticale de $A$. Le rayon émergent, prolongé vers le bas, fait avec la verticale l'angle $i$ ; il recoupe la verticale de $A$ à la profondeur $h^{\prime }$ telle que $x=h^{\prime }\tan i$. En égalant : $$h^{\prime }=h\frac{\tan r}{\tan i}.$$

2) Petits angles. Si $i$ et $r$ sont petits, $\tan \approx \sin$, et la loi $n\sin r=\sin i$ donne $\frac{\tan r}{\tan i}\approx \frac{\sin r}{\sin i}=\frac{1}{n}$ : $$h^{\prime }=\frac{h}{n}=\frac{h}{1,33}=0,75h.$$ Vu d'en haut, le fond paraît relevé d'un quart de la profondeur. Le rayon s'écarte de la normale en sortant de l'eau, et l'œil, qui prolonge les rayons en ligne droite, place l'objet plus haut. Objet dans l'air vu de l'eau : le rôle des milieux est échangé, la loi s'écrit $\sin r=n\sin i$ en notant $r$ l'angle dans l'air et $i$ celui dans l'eau, et le même calcul donne $h^{\prime }=nh=1,33h$ : le plongeur voit l'objet plus loin qu'il n'est. Les deux résultats s'écrivent $h^{\prime }=\frac{n_{\text{observateur}}}{n_{\text{objet}}}h$.

3) Hors des petits angles : pas d'image unique. Avec $\sin r=\sin i/1,33$ :

La profondeur apparente dépend du rayon : de $0,75h$ à la verticale, elle tombe à $0,59h$ sous $50^{\circ }$. Les rayons issus du même point $A$ ne semblent donc pas provenir d'un même point : leurs prolongements ne se coupent pas tous en $A^{\prime }$. Le dioptre plan n'est pas rigoureusement stigmatique ; il ne l'est qu'approximativement, pour des rayons peu inclinés. C'est pourquoi le fond d'une piscine paraît de plus en plus relevé à mesure qu'on le regarde loin, sous incidence rasante. Annonce : ce défaut de stigmatisme, et l'approximation de Gauss qui le rend négligeable, sont le cœur du chapitre suivant.

4) Le pêcheur, le harpon, le laser. À la verticale, petits angles : $h=n{h}^{\prime }=1,33\times 0,60=0,80$ m. Le poisson est plus profond qu'il ne paraît : le harpon, qui va en ligne droite et ne se réfracte pas, doit viser au-dessous de l'image. Le laser, au contraire, se réfracte comme la lumière venue du poisson : par le principe du retour inverse, un faisceau envoyé exactement le long du trajet suivi par la lumière, de l'œil vers le poisson, suit ce trajet à l'envers et atteint le poisson en visant l'image elle-même. Le point délicat : « viser l'image » est juste pour la lumière, faux pour un projectile.

Ce que l'exercice installe. Une image est le point d'où semblent provenir les rayons, et elle n'existe que si tous les rayons s'accordent ; on le vérifie rayon par rayon. Le dioptre plan est stigmatique dans l'approximation des petits angles, et seulement là. Et le retour inverse distingue ce qui suit la lumière de ce qui ne la suit pas.