Ce que retourne un miroir

La stratégie. Tout repose sur la symétrie orthogonale par rapport au plan du miroir : on démontre qu'elle décrit la réflexion de tout rayon, puis on regarde ce qu'elle fait d'un repère, et ce que donne la composée de deux d'entre elles.

1) Le stigmatisme rigoureux, démontré. Soit un rayon issu de $A$ qui frappe le miroir en $I$, et $H$ le pied de la perpendiculaire abaissée de $A$ sur le miroir ; $A^{\prime }$ est sur $(AH)$, avec $H{A}^{\prime }=HA$. La normale en $I$ est parallèle à $(AH)$ : le plan d'incidence contient donc $(AH)$, et $A^{\prime }$. Dans ce plan, les triangles $AHI$ et $A^{\prime }HI$, rectangles en $H$, de côté $HI$ commun et avec $HA=H{A}^{\prime }$, sont isométriques : la droite $(I{A}^{\prime })$ fait avec la normale le même angle que $(IA)$. Le rayon réfléchi, de l'autre côté de la normale avec un angle de réflexion égal à l'angle d'incidence, est donc porté par la droite $(A^{\prime }I)$.

Ceci vaut pour tout point $I$ : le miroir plan est rigoureusement stigmatique pour tout point, sans condition sur l'inclinaison des rayons.

2) Le trièdre image. La symétrie par rapport au plan du miroir laisse invariants les vecteurs parallèles au miroir et change en son opposé le vecteur normal : l'image du trièdre est $({\overrightarrow{e}}_x,{\overrightarrow{e}}_y,-{\overrightarrow{e}}_z)$. Or ce trièdre est indirect : changer le signe d'un seul vecteur change l'orientation. Ce que le miroir inverse, c'est donc l'avant et l'arrière, c'est-à-dire la direction perpendiculaire à son plan.

Pourquoi dit-on « gauche-droite » ? Parce que, pour se comparer à son image, on s'imagine tourné d'un demi-tour autour d'un axe vertical. C'est cette rotation imaginaire, et non le miroir, qui échange la gauche et la droite ; qui s'imaginerait basculer tête en bas dirait que le miroir inverse le haut et le bas.

3) Main droite, texte, deux réflexions. L'image d'une main droite est une main gauche, non superposable à une main droite (le trièdre est devenu indirect) ; un texte vu dans un miroir a ses lettres retournées. Après deux réflexions, les deux changements d'orientation se compensent : le texte redevient lisible.

4) Le périscope. Soient deux plans parallèles $P_1$ et $P_2$, distants de $\delta$, de vecteur normal unitaire $\overrightarrow{n}$ dirigé de $P_1$ vers $P_2$. Prenons un repère où $P_1$ est d'équation $z=0$ et $P_2$ d'équation $z=\delta$, avec $\overrightarrow{n}={\overrightarrow{e}}_z$. La symétrie par rapport à $P_1$ envoie la cote $z$ sur $-z$ ; la symétrie par rapport à $P_2$ envoie $z$ sur $2\delta -z$. La composée « d'abord $P_1$, puis $P_2$ » envoie $z$ sur $2\delta -(-z)=z+2\delta$, sans toucher aux deux autres coordonnées : c'est la translation de vecteur $2\delta \overrightarrow{n}$, perpendiculaire aux miroirs, de norme deux fois leur distance.

Ici, les miroirs sont inclinés à $45^{\circ }$ et leurs centres sont à la verticale l'un de l'autre, séparés de $d$. La distance entre les deux plans parallèles est la projection de ce segment vertical sur la normale, qui fait $45^{\circ }$ avec la verticale : $\delta =d\cos 45^{\circ }=d/\sqrt{2}$. La translation a donc pour norme $2\delta =d\sqrt{2}$, et elle est dirigée selon la normale, inclinée à $45^{\circ }$ : ses composantes valent $d$ verticalement et $d$ horizontalement.

Sens de la translation. Le paysage vu par l'œil est l'image du paysage par la symétrie du miroir du haut, puis par celle du miroir du bas : il est translaté de $d$ vers le bas et de $d$ horizontalement en s'éloignant de l'œil. Tout se passe donc comme si l'œil était placé $d$ plus haut et $d$ plus en arrière. Vérification : un rayon horizontal entré en haut ressort horizontal en bas, abaissé de $d$, après avoir parcouru $d$ de plus entre les miroirs.

Une translation conserve l'orientation : l'image n'est ni retournée, ni inversée. Avec $d=1,2\mathrm{m}$, l'observateur gagne $1,2\mathrm{m}$ de hauteur et recule de $1,2\mathrm{m}$, négligeable pour un paysage lointain.

5) La règle de parité. Chaque réflexion change l'orientation (trièdre direct changé en indirect, et réciproquement). Après $k$ réflexions, l'orientation a changé $k$ fois : si $k$ est pair, l'image est superposable à l'objet (elle s'en déduit par un déplacement) ; si $k$ est impair, elle est énantiomorphe. Le périscope ($k=2$) donne une image directe, le reflet ordinaire ($k=1$) une main gauche.

Ce que l'exercice installe. Le miroir plan est une symétrie, et toutes ses propriétés se lisent sur cette transformation : stigmatisme rigoureux, image de même taille, orientation changée. Composer deux symétries donne un déplacement : une translation pour deux miroirs parallèles, une rotation pour deux miroirs sécants.