Le miroir tournant, du galvanomètre à Foucault

La stratégie. Une seule propriété géométrique, l'angle double, puis deux usages : amplifier une petite rotation (galvanomètre), et convertir un temps de vol, trop court pour être chronométré, en un angle, puis en une longueur mesurable (Foucault).

1) L'angle double. Repérons les directions dans le plan d'incidence par leur angle avec une direction fixe. Soit $\nu$ l'angle de la normale au miroir, $\phi$ celui du rayon incident (orienté vers le miroir). La loi de la réflexion dit que le rayon réfléchi est le symétrique du rayon incident retourné, par rapport à la normale : sa direction vaut ${\phi }^{\prime }=2\nu -\phi +\pi$. Tourner le miroir de $\alpha$ tourne sa normale de $\alpha$ : $\nu \to \nu +\alpha$, à rayon incident fixé. Donc ${\phi }^{\prime }\to {\phi }^{\prime }+2\alpha$ : le rayon réfléchi tourne de $2\alpha$, dans le même sens que le miroir.

2) Le galvanomètre. Le rayon réfléchi tourne de $2\alpha =1,0^{\circ }$ ; sur l'écran perpendiculaire au rayon initial, à la distance $L$, la tache se déplace de $$x=L\tan 2\alpha =2,0\times \tan (1,0^{\circ })\approx 3,49\mathrm{cm}.$$ L'approximation $x\approx 2L\alpha$ donne la même valeur. L'amplification tient à deux facteurs : le facteur $2$ de la réflexion, et le bras de levier optique $L$, sans masse ni inertie. La sensibilité vaut $2L=4\mathrm{m}\mathrm{ra}{\mathrm{d}}^{-1}$ : un millimètre lu sur l'écran correspond à $2,5\times 10^{-4}\mathrm{rad}$.

3) Le principe de Foucault. Le faisceau quitte le miroir tournant à l'instant $t$, fait l'aller-retour de longueur $2L$ et revient à l'instant $t+\tau$, avec $\tau =2L/c$. Si le miroir était immobile, le réflecteur, qui renvoie le faisceau sur lui-même, le ferait revenir exactement le long du trajet aller, et après la seconde réflexion il repartirait exactement le long du faisceau incident (principe du retour inverse). Mais pendant $\tau$, le miroir a tourné de $\omega \tau$. Pour le faisceau de retour, tout se passe comme pour un rayon fixe frappant un miroir tourné de $\omega \tau$ : d'après la question 1, il est dévié de $$\Delta =2\omega \tau =\frac{4\omega L}{c}$$ par rapport à la direction qu'il aurait eue avec un miroir immobile, c'est-à-dire par rapport au faisceau incident. Le point délicat : seule la rotation pendant le vol compte ; la rotation du miroir à l'instant de l'aller ne fait que choisir la direction de départ, que le réflecteur annule en renvoyant le faisceau sur lui-même.

4) La mesure. Sur l'écran à la distance $\ell$, la tache de retour est décalée de $\delta =\ell \Delta =\frac{4\omega L\ell }{c}$ (petits angles), d'où $$c=\frac{4\omega L\ell }{\delta }.$$ Homogénéité : $\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}\times \mathrm{m}\times \mathrm{m}/\mathrm{m}$, soit des $\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$. Numériquement, avec $c=3,00\times 10^8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ : $$\delta =\frac{4\times (2\pi \times 800)\times 20\times 1,0}{3,00\times 10^8}\approx 1,34\times 10^{-3}\mathrm{m}=1,34\mathrm{mm}.$$ Le temps de vol est $\tau =2L/c\approx 1,3\times 10^{-7}\mathrm{s}$, cent trente nanosecondes, impossible à chronométrer en 1862 ; le miroir tournant le transforme en un millimètre et un tiers sur un écran.

5) La précision requise. $c$ est inversement proportionnel à $\delta$ : une incertitude relative de $1\%$ sur $c$ exige $1\%$ sur $\delta$, soit $13\mu \mathrm{m}$. C'est un repérage au microscope ; d'où l'intérêt d'allonger $L$ et d'augmenter $\omega$, puisque $\delta$ leur est proportionnel. Foucault obtint ainsi $c\approx 298000\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$, à moins de $1\%$ de la valeur actuelle ; le même montage, avec un tube d'eau sur le trajet, lui avait montré dès 1850 que la lumière va moins vite dans l'eau que dans l'air.

Ce que l'exercice installe. L'angle double est une propriété d'amplification : un miroir mesure une rotation avec un bras de levier sans masse. Et une idée de métrologie qui reviendra : mesurer un temps très court par un angle, puis l'angle par une longueur, en choisissant les grandeurs ($\omega$, $L$, $\ell$) qui rendent le déplacement mesurable.