Objet virtuel, image réelle : le miroir diagonal du télescope de Newton

La stratégie. Un point objet est défini par les rayons qui arrivent sur le système : réel s'ils en sont issus, virtuel s'ils se dirigent vers lui et sont interceptés avant. On applique ensuite le stigmatisme rigoureux du miroir plan.

1) Un objet virtuel situé devant le miroir. Les rayons qui arrivent sur le miroir ne viennent pas de $A$ : ils viennent de l'objectif et se dirigent vers $A$. Le miroir les intercepte à $850\mathrm{mm}$ de l'objectif, soit $150\mathrm{mm}$ avant qu'ils n'atteignent $A$ ; aucun rayon ne passe donc réellement par $A$ : seuls les prolongements des rayons incidents, au-delà du miroir, s'y coupent. $A$ est un objet virtuel pour le miroir.

Le point délicat. Géométriquement, $A$ est situé « derrière » le miroir, du côté où la lumière ne va pas après réflexion. Mais ce n'est pas la position qui décide : c'est le trajet. Un objet virtuel est la signature d'un faisceau convergent intercepté avant sa convergence.

2) L'image est réelle. Soit un rayon incident quelconque du faisceau ; son prolongement passe par $A$. La loi de la réflexion dit que le rayon réfléchi est le symétrique, par rapport au plan du miroir, du prolongement du rayon incident ; le symétrique d'une droite passant par $A$ est une droite passant par $A^{\prime }$, symétrique de $A$. Donc tout rayon réfléchi passe par $A^{\prime }$ : c'est le stigmatisme rigoureux, valable que l'objet soit réel ou virtuel.

Construction. Le miroir est incliné à $45^{\circ }$ sur l'axe ; il coupe l'axe au point $M$ situé à $150\mathrm{mm}$ de $A$. Le symétrique de $A$ par rapport au plan du miroir s'obtient en abaissant de $A$ la perpendiculaire au miroir et en la prolongeant d'autant : comme le miroir fait $45^{\circ }$ avec l'axe, le triangle formé par $A$, $M$ et $A^{\prime }$ est rectangle isocèle en $M$, et $A^{\prime }$ se trouve sur la perpendiculaire à l'axe passant par $M$, à la distance $MA=150\mathrm{mm}$ de l'axe, du côté vers lequel le miroir renvoie la lumière.

Les rayons réfléchis partent du miroir et vont vers $A^{\prime }$, qui est devant la face réfléchissante, du côté de la lumière réfléchie : ils s'y croisent effectivement. $A^{\prime }$ est une image réelle : on peut y placer un écran, un capteur, ou le plan focal objet de l'oculaire. L'observateur, sur le côté du tube, ne masque pas la lumière incidente.

3) La distance à l'axe. $A^{\prime }$ est à $MA=1000-850=150\mathrm{mm}$ de l'axe, hors du tube (dont le bord est à $100\mathrm{mm}$ de l'axe).

4) La taille utile du miroir. Le cône a pour sommet $A$ et pour base le cercle de diamètre $200\mathrm{mm}$ situé à $1000\mathrm{mm}$ de $A$. À la distance $150\mathrm{mm}$ de $A$, par le théorème de Thalès, sa section a pour diamètre $$D_s=200\times \frac{150}{1000}=30\mathrm{mm}.$$ Sur le miroir incliné à $45^{\circ }$, cette section s'étire dans le plan qui contient l'axe et la normale au miroir : au premier ordre, le grand axe vaut $30/\cos 45^{\circ }=30\sqrt{2}\approx 42,4\mathrm{mm}$. Le calcul exact, qui intersecte avec le plan du miroir les deux génératrices extrêmes (issues des bords du faisceau, à $\pm 100\mathrm{mm}$ de l'axe), donne deux points à $13,6\mathrm{mm}$ et $16,7\mathrm{mm}$ de part et d'autre de l'axe, distants de $42,9\mathrm{mm}$ : les génératrices n'étant pas parallèles, l'une rencontre le miroir plus près de $A$ que l'autre.

Le miroir secondaire masque une partie de l'objectif. Or la section du cône décroît linéairement quand on s'approche de $A$ : plus le miroir est près de $A$, plus il est petit et moins il obstrue. La limite est fixée par $A^{\prime }$, qui doit sortir du tube.

5) Les quatre cas. L'image est le symétrique de l'objet et la lumière repart du côté d'où elle vient. Un objet réel donne une image virtuelle (le reflet ordinaire) ; un objet virtuel donne une image réelle (ce télescope). Les deux autres combinaisons sont impossibles pour un miroir plan, car la symétrie échange toujours le côté de la face réfléchissante et l'autre.

Ce que l'exercice installe. Réel ou virtuel se lit sur le trajet des rayons, jamais sur la position du point. Un objet virtuel est ce que reçoit tout élément placé dans un faisceau convergent : on le retrouvera pour chaque lentille placée après une autre. Et le stigmatisme du miroir plan vaut pour un objet virtuel comme pour un objet réel, parce qu'il repose sur une propriété de droites.