Problème : le théorème du kaléidoscope

La stratégie. Chaque réflexion est une symétrie, deux réflexions font une rotation, et une règle d'arrêt dit quand une image cesse d'être réfléchie : le dénombrement devient un raisonnement sur les secteurs du plan.

1) Le lemme des deux symétries. La symétrie par rapport à une droite passant par $O$ conserve les distances à $O$ : le point image a le même rayon $\rho$. Elle échange les deux demi-plans limités par la droite, et l'axe est la bissectrice de l'angle formé par le point et son image : si la droite a l'angle $\alpha$ et le point l'angle $\psi$, l'image a l'angle ${\psi }^{\prime }$ tel que $\alpha$ soit la moyenne de $\psi$ et ${\psi }^{\prime }$, soit ${\psi }^{\prime }=2\alpha -\psi$. Notons $S_{\alpha }$ cette symétrie.

Composons $S_{{\alpha }_2}$ après $S_{{\alpha }_1}$, avec ${\alpha }_2-{\alpha }_1=\theta$ : $$\psi ⟼2{\alpha }_1-\psi ⟼2{\alpha }_2-(2{\alpha }_1-\psi )=\psi +2({\alpha }_2-{\alpha }_1)=\psi +2\theta ,$$ le rayon restant $\rho$. La composée est la rotation de centre $O$ et d'angle $2\theta$. Dans l'ordre inverse, on obtient la rotation d'angle $-2\theta$.

2) Les deux chaînes. Avec $S_1:\psi \mapsto -\psi$ (miroir $M_1$, $\alpha =0$) et $S_2:\psi \mapsto 2\theta -\psi$ (miroir $M_2$, $\alpha =\theta$) :

Chaîne commençant par $M_1$ : $I_1=-\phi$, puis $I_2=S_2(I_1)=2\theta +\phi$, puis $I_3=S_1(I_2)=-2\theta -\phi$, puis $I_4=4\theta +\phi$… En général, d'après le lemme, deux réflexions successives ajoutent une rotation : $$I_{2k}=\phi +2k\theta ,I_{2k+1}=-\phi -2k\theta .$$ Chaîne commençant par $M_2$ : $J_1=2\theta -\phi$, puis $J_2=S_1(J_1)=\phi -2\theta$, puis $J_3=4\theta -\phi$… soit $$J_{2k}=\phi -2k\theta ,J_{2k+1}=2(k+1)\theta -\phi .$$ Chaque symétrie conserve le rayon : toutes les images sont sur le cercle de centre $O$ et de rayon $\rho =OP$.

3) La règle d'arrêt et le dénombrement. Le secteur ${\Sigma }_j$ est l'ensemble des points d'angle compris entre $j\theta$ et $(j+1)\theta$ (modulo $360^{\circ }$, avec $2p\theta =360^{\circ }$) ; l'objet est dans ${\Sigma }_0$. Comme $0<\phi <\theta$ :

• $I_{2k}=\phi +2k\theta$ est dans ${\Sigma }_{2k}$, et $I_{2k+1}=-\phi -2k\theta$ dans ${\Sigma }_{-(2k+1)}$ : la première chaîne visite ${\Sigma }_{-1},{\Sigma }_2,{\Sigma }_{-3},{\Sigma }_4,\dots$, la $m$-ième image étant dans ${\Sigma }_{(-1{)}^{m}m}$ ;
• de même, la seconde chaîne visite ${\Sigma }_1,{\Sigma }_{-2},{\Sigma }_3,\dots$, la $m$-ième image étant dans ${\Sigma }_{(-1{)}^{m+1}m}$.

Où les miroirs voient-ils ? Le demi-plan devant $M_1$ est celui des angles compris entre $0$ et $180^{\circ }=p\theta$ : il contient ${\Sigma }_0,{\Sigma }_1,\dots ,{\Sigma }_{p-1}$. Le demi-plan devant $M_2$ est celui des angles compris entre $\theta -180^{\circ }$ et $\theta$ : il contient ${\Sigma }_0,{\Sigma }_{-1},\dots ,{\Sigma }_{-(p-1)}$. Le secteur opposé ${\Sigma }_p={\Sigma }_{-p}$ n'est devant aucun des deux miroirs : c'est le secteur « mort ».

La chaîne de $M_1$. L'image $I_m$ d'indice impair vient de $M_1$ et doit être réfléchie par $M_2$ : elle est dans ${\Sigma }_{-m}$, donc devant $M_2$ tant que $m\le p-1$. L'image d'indice pair vient de $M_2$ et doit être réfléchie par $M_1$ : elle est dans ${\Sigma }_m$, devant $M_1$ tant que $m\le p-1$. La chaîne se poursuit donc jusqu'à l'image $I_p$, qui tombe dans le secteur mort ${\Sigma }_{\pm p}$ : elle n'est plus réfléchie. La chaîne compte exactement $p$ images, et il en va de même pour la seconde, par le même raisonnement.

Les deux dernières images coïncident. Si $p=2k$ est pair : $I_p=\phi +p\theta =\phi +180^{\circ }$ et $J_p=\phi -p\theta =\phi -180^{\circ }$, qui désignent le même point. Si $p=2k+1$ est impair : $I_p=-\phi -(p-1)\theta$ et $J_p=(p+1)\theta -\phi$, qui diffèrent de $2p\theta =360^{\circ }$ : même point encore. Dans les deux cas, les deux chaînes aboutissent au même point du secteur mort, symétrique de $P$ par rapport à $O$ lorsque $p$ est pair.

Le compte. Les $p-1$ premières images de chaque chaîne occupent les secteurs ${\Sigma }_{\pm 1},\dots ,{\Sigma }_{\pm (p-1)}$, chacun une fois : ce sont $2(p-1)$ images distinctes ; s'y ajoute l'image commune du secteur mort. Le nombre total d'images est $$N=2(p-1)+1=2p-1=\frac{360^{\circ }}{\theta }-1,$$ quelle que soit la position de l'objet entre les miroirs. Avec l'objet lui-même, on voit $2p$ fois le motif, un dans chaque secteur.

4) Deux constructions et le pavage. Pour $\theta =90^{\circ }$ ($p=2$) : on trace les deux miroirs à angle droit et l'objet $P$ entre eux. $M_1$ donne $P_1$, symétrique de $P$ par rapport à $M_1$ ; $M_2$ donne $P_2$, symétrique par rapport à $M_2$. $P_1$ est devant $M_2$ (du côté de $P$ par rapport à la droite qui porte $M_2$) : $M_2$ en donne le symétrique $P_{12}$. De même, $M_1$ donne de $P_2$ le symétrique $P_{21}$. On constate que $P_{12}=P_{21}$ : c'est le symétrique de $P$ par rapport à $O$, l'image par la rotation de $180^{\circ }$. Cette image double est derrière les deux miroirs et s'arrête là. Trois images : $3=360/90-1$.

Pour $\theta =60^{\circ }$ ($p=3$) : chaque chaîne compte trois images. Avec $\phi =20^{\circ }$, la première donne $-20^{\circ }$, $140^{\circ }$, $-140^{\circ }$ ; la seconde $100^{\circ }$, $-100^{\circ }$, $-140^{\circ }$. On obtient cinq points distincts sur le cercle : $-20^{\circ }$, $100^{\circ }$, $140^{\circ }$, $-100^{\circ }$ et l'image commune $-140^{\circ }$. Cinq images : $5=360/60-1$. Avec l'objet, six motifs se partagent le cercle, alternativement directs et retournés : chaque réflexion change l'orientation d'un trièdre, donc une image issue d'un nombre pair de réflexions est superposable à l'objet, une image issue d'un nombre impair ne l'est pas.

Le kaléidoscope à trois miroirs. Un prisme à section en triangle équilatéral offre trois dièdres de $60^{\circ }$, et $60^{\circ }$ divise exactement $180^{\circ }$ : autour de chaque arête, les images s'arrangent sans image surnuméraire ni chevauchement. Les images du triangle par réflexions successives sur ses côtés sont des triangles équilatéraux accolés qui pavent le plan. Avec un angle qui ne divise pas $180^{\circ }$, les images se chevaucheraient et le motif serait brouillé.

5) La limite des miroirs parallèles. Quand $\theta \to 0$, $N=2p-1\to \infty$, et le cercle, de rayon infini devant l'écart des miroirs, se confond avec la normale commune. Repérons les points par leur abscisse sur cette normale, $M_1$ en $0$, $M_2$ en $d$, l'objet en $x$ ($0<x<d$) : les symétries sont $X\mapsto -X$ et $X\mapsto 2d-X$.

Chaîne de $M_1$ : $-x$, puis $2d+x$, puis $-2d-x$, puis $4d+x$… Chaîne de $M_2$ : $2d-x$, puis $x-2d$, puis $4d-x$… Aucune image n'est jamais derrière les deux miroirs : la règle d'arrêt n'intervient jamais, et les chaînes sont infinies. Les images sont aux abscisses $2kd\pm x$ ($k$ entier, l'objet $x$ excepté) : derrière $M_1$, aux distances $x$, $2d-x$, $2d+x$, $4d-x$, $4d+x$… Pour une personne à $x=0,5\mathrm{m}$ dans une cabine de $d=2,0\mathrm{m}$, les images derrière le premier miroir sont à $0,5$ ; $3,5$ ; $4,5$ ; $7,5$ ; $8,5\mathrm{m}$… Le point délicat : les images ne sont « à $d$, $3d$, $5d$ derrière chaque miroir » que dans le cas particulier d'un objet collé contre l'autre miroir ($x=d$ pour les images derrière $M_1$), où les deux chaînes coïncident deux à deux ; en général, elles vont par paires.

L'atténuation. L'image d'indice $k$ dans une chaîne a subi $k$ réflexions ; son intensité relative est $R^k$. On cherche le premier $k$ tel que $0,90^k<0,10$, soit $k>\frac{\ln 0,10}{\ln 0,90}\approx 21,9$ : $k=22$ ($0,90^{22}\approx 0,098$, alors que $0,90^{21}\approx 0,109$). L'« infini » de l'ascenseur se réduit à une vingtaine d'images utiles de chaque côté, la dernière à une quarantaine de mètres.

6) Quand $360^{\circ }/\theta$ est impair. Pour $\theta =72^{\circ }$, la région située derrière les deux miroirs est un angle de $180^{\circ }-72^{\circ }=108^{\circ }$, qui n'est plus un des secteurs d'angle $\theta$. Reprenons les chaînes avec la règle d'arrêt.

Objet hors de la bissectrice, par exemple $\phi =0,2\theta =14,4^{\circ }$. Chaîne de $M_1$ : $-14,4^{\circ }$ (devant $M_2$), $158,4^{\circ }$ (devant $M_1$), $-158,4^{\circ }$ (derrière les deux : arrêt) — trois images. Chaîne de $M_2$ : $129,6^{\circ }$ (devant $M_1$), $-129,6^{\circ }$ (derrière $M_2$ : arrêt) — deux images. Aucune coïncidence : cinq images, et non $360/72-1=4$.

Objet sur la bissectrice, $\phi =36^{\circ }$. Chaîne de $M_1$ : $-36^{\circ }$, puis $2\times 72^{\circ }+36^{\circ }=180^{\circ }$, point situé exactement sur le prolongement de $M_1$, qui ne le réfléchit pas — deux images. Chaîne de $M_2$ : $108^{\circ }$, puis $-108^{\circ }$, situé exactement sur le prolongement de $M_2$ — deux images. Quatre images.

Une simulation de ces règles le confirme ($\theta =120^{\circ }$ donne de même $3$ ou $2$ images). Lorsque $q=360^{\circ }/\theta$ est un entier impair, on voit donc $q$ images d'un objet situé hors de la bissectrice et $q-1$ d'un objet situé sur elle : le nombre d'images dépend de la position de l'objet, et la formule $360^{\circ }/\theta -1$ n'est vraie, pour toute position, que si $360^{\circ }/\theta$ est pair.

Le résultat obtenu — le théorème du kaléidoscope. Deux miroirs plans formant un dièdre d'angle $\theta =180^{\circ }/p$, avec $p$ entier au moins égal à deux, donnent d'un point objet placé entre eux exactement $N=\frac{360^{\circ }}{\theta }-1=2p-1$ images, quelle que soit sa position ; ces images sont sur le cercle de centre l'arête passant par l'objet, une dans chacun des secteurs d'angle $\theta$ autres que celui de l'objet. Si $360^{\circ }/\theta$ est un entier impair, le nombre d'images vaut $360^{\circ }/\theta$, ou $360^{\circ }/\theta -1$ pour un objet sur la bissectrice. Pour deux miroirs parallèles, les images sont en nombre infini, aux abscisses $2kd\pm x$, et seule l'atténuation par réflexion en limite le nombre visible.

Ce que le problème installe. La construction d'images par un miroir plan, capacité exigible du programme, menée jusqu'au bout : une image sert d'objet au miroir suivant, pourvu qu'elle soit devant lui, et cette règle d'arrêt est tout le contenu du problème. Et une leçon de méthode : une formule « admise » sur trois exemples (ici $90^{\circ }$, $60^{\circ }$, $45^{\circ }$) peut être fausse en dehors d'eux ; seule la démonstration dit où elle s'applique.