Concevoir un vidéoprojecteur

La stratégie. Le grandissement imposé fixe tout : Newton exprime directement les positions de l'objet et de l'image à partir de $\gamma$, sans résoudre d'équation. La distance $D$ devient alors une fonction de $\gamma$, plus parlante que la fonction de la position utilisée dans le cours.

1) Positions par Newton. $\gamma =\frac{f^{\prime }}{\overline{FA}}$ donne $\overline{FA}=\frac{f^{\prime }}{\gamma }=\frac{10}{-30}\approx -0,333\mathrm{cm}$ : la dalle est à $3,3\mathrm{mm}$ en amont du foyer objet, $\overline{OA}=-f^{\prime }+\overline{FA}\approx -10,3\mathrm{cm}$. Et $\gamma =-\frac{\overline{F^{\prime }{A}^{\prime }}}{f^{\prime }}$ donne $\overline{F^{\prime }{A}^{\prime }}=-\gamma f^{\prime }=300\mathrm{cm}$, d'où $\overline{O{A}^{\prime }}=f^{\prime }+\overline{F^{\prime }{A}^{\prime }}=3,10\mathrm{m}$. L'écran est à $3,1\mathrm{m}$ de la lentille. Le réglage est très sensible : un déplacement de la dalle d'un millimètre change $\overline{FA}$ de $30\%$, et donc la position de l'image d'autant ; c'est le grandissement longitudinal ${\gamma }^2=900$ (en dérivant la relation de Newton, $\mathrm{d}\overline{F^{\prime }{A}^{\prime }}=-{\gamma }^2\mathrm{d}\overline{FA}$). L'image est renversée ($\gamma <0$) : la dalle est montée à l'envers.

2) La distance en fonction du grandissement. Les deux relations de Newton donnent $\overline{OA}=-f^{\prime }+\frac{f^{\prime }}{\gamma }=f^{\prime }\left(\frac{1}{\gamma }-1\right)$ et $\overline{O{A}^{\prime }}=f^{\prime }+(-\gamma f^{\prime })=f^{\prime }(1-\gamma )$. Donc

$$\begin{array}{rl}D& =\overline{O{A}^{\prime }}-\overline{OA}\\ & =f^{\prime }\left(1-\gamma -\frac{1}{\gamma }+1\right)\\ & =f^{\prime }\frac{2\gamma -{\gamma }^2-1}{\gamma }\\ & =f^{\prime }\frac{(1-\gamma {)}^2}{-\gamma }.\end{array}$$

Pour $\gamma <0$, posons $g=-\gamma >0$ : $D=f^{\prime }\frac{(1+g{)}^2}{g}$. Or $(1+g{)}^2-4g=(1-g{)}^2\ge 0$, donc $(1+g{)}^2\ge 4g$ et $D\ge 4f^{\prime }$, avec égalité si et seulement si $g=1$, c'est-à-dire $\gamma =-1$ : objet et image à $2f^{\prime }$ de part et d'autre. On retrouve le résultat du cours sans dériver, par une identité remarquable ; et l'on voit qu'à chaque distance $D>4f^{\prime }$ correspondent deux grandissements, $g$ et $1/g$, ce qu'exploite la méthode de Bessel de mesure des focales.

3) Choisir la focale. On veut $g=\frac{2,0}{0,020}=100$ ; alors

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }& =\frac{Dg}{(1+g{)}^2}\\ & =\frac{4,0\times 100}{101^2}\approx 3,92\times 10^{-2}\mathrm{m}\approx 39\mathrm{mm}.\end{array}$$

Ordre de grandeur : c'est bien la focale d'un objectif de projecteur de salon.

4) Le cas $|\gamma |\gg 1$. $D=f^{\prime }\frac{(1+g{)}^2}{g}\approx f^{\prime }g$ : la largeur de l'image, $g$ fois celle de la dalle, est proportionnelle à la distance : $\ell \approx {\ell }_{\text{dalle}}D/f^{\prime }$. En reculant le projecteur de $4\mathrm{m}$ à $6\mathrm{m}$, l'image passe de $2\mathrm{m}$ à $3\mathrm{m}$ de large (et l'éclairement de l'écran diminue comme le carré de la distance). Pour adapter la taille de l'image à un écran donné sans déplacer l'appareil, il faut changer $f^{\prime }$ : c'est le rôle du zoom, système de focale variable.

Ce que l'exercice installe. Exprimer les positions en fonction du grandissement par Newton : c'est la démarche de l'opticien qui conçoit un instrument à partir de ce qu'il doit produire. La condition $D\ge 4f^{\prime }$ se relit comme une inégalité entre une somme et un produit, et chaque distance admet deux grandissements inverses l'un de l'autre.