La loupe, l'œil au foyer image

La stratégie. L'œil est en $F^{\prime }$, origine naturelle de Newton : la distance de l'œil à l'image est $|\overline{F^{\prime }{A}^{\prime }}|$, et le grandissement de Newton s'écrit précisément avec $\overline{F^{\prime }{A}^{\prime }}$. L'angle sous lequel l'œil voit l'image est le rapport de sa taille à cette distance.

1) Un angle indépendant de l'objet. L'objet entre $F$ et $O$ donne une image virtuelle, droite, agrandie, située en amont de la lentille : $\overline{F^{\prime }{A}^{\prime }}<0$. L'œil en $F^{\prime }$ la voit sous l'angle (petit) $${\alpha }^{\prime }=\frac{|\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}|}{|\overline{F^{\prime }{A}^{\prime }}|}.$$ Or Newton donne $\gamma =-\frac{\overline{F^{\prime }{A}^{\prime }}}{f^{\prime }}$, donc $|\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}|=|\gamma |AB=\frac{|\overline{F^{\prime }{A}^{\prime }}|}{f^{\prime }}AB$, et $${\alpha }^{\prime }=\frac{AB}{f^{\prime }}.$$ La distance $|\overline{F^{\prime }{A}^{\prime }}|$ s'est simplifiée : quand l'objet bouge, l'image grandit exactement dans la proportion où elle s'éloigne de l'œil, et l'angle apparent ne change pas. Interprétation par les rayons : le rayon issu de $B$ parallèle à l'axe émerge en passant par $F^{\prime }$, donc par l'œil, avec l'inclinaison $AB/f^{\prime }$ ; c'est lui qui fixe la direction sous laquelle l'œil voit $B^{\prime }$, et il ne dépend pas de la position de $A$.

2) Le grossissement commercial. À l'œil nu, on voit au mieux l'objet de près, à $d_m$, sous l'angle $\alpha =AB/d_m$. Donc $$G=\frac{{\alpha }^{\prime }}{\alpha }=\frac{AB/f^{\prime }}{AB/d_m}=\frac{d_m}{f^{\prime }}=\frac{0,25}{0,050}=5.$$ La loupe « grossit cinq fois » : notée $\times 5$. Une loupe $\times 10$ a une focale de $2,5\mathrm{cm}$. Ce grossissement est intrinsèque à la loupe, précisément parce que ${\alpha }^{\prime }$ ne dépend pas de la position de l'objet quand l'œil est en $F^{\prime }$.

3) La latitude de mise au point. Il faut $|\overline{F^{\prime }{A}^{\prime }}|\ge d_m$. Par Newton, $|\overline{FA}|=\frac{f^{\prime 2}}{|\overline{F^{\prime }{A}^{\prime }}|}\le \frac{f^{\prime 2}}{d_m}=\frac{25}{25}=1,0\mathrm{cm}$ pour $f^{\prime }=5,0\mathrm{cm}$. L'objet doit donc être entre $F$ et le point situé $1,0\mathrm{cm}$ plus près de la lentille : $-5,0\mathrm{cm}\le \overline{OA}\le -4,0\mathrm{cm}$. Au-delà, l'image serait trop proche pour que l'œil accommode. Pour observer sans accommoder, l'image doit être à l'infini : l'objet en $F$ ($\overline{FA}=0$). C'est la position de confort, et l'angle apparent est le même. Cas limite : la latitude $f^{\prime 2}/d_m$ diminue comme le carré de la focale ; pour une loupe $\times 10$, elle n'est plus que de $2,5\mathrm{mm}$.

Ce que l'exercice installe. Choisir l'origine adaptée à la question : l'œil en $F^{\prime }$ appelle Newton, et le calcul se simplifie au point de faire apparaître une invariance. La loupe est l'exemple où l'angle apparent, et non la taille de l'image, est la grandeur pertinente ; ce sera la grandeur clé de tout instrument d'observation.