Le plan focal : tout rayon, et la focale qui convertit un angle

La stratégie. Un rayon quelconque n'est pas l'un des trois rayons utiles ; on le relie à eux par la propriété des foyers secondaires : des rayons parallèles entre eux convergent en un même point du plan focal image, et des rayons issus d'un même point du plan focal objet émergent parallèles entre eux. Il suffit donc de trouver, dans la famille du rayon étudié, un rayon dont on connaît l'émergent : celui qui passe par $O$.

1) Convergente, deux constructions. Première construction, par le plan focal image. On trace le rayon auxiliaire parallèle au rayon incident et passant par $O$ ; il n'est pas dévié. Il coupe le plan focal image (le plan perpendiculaire à l'axe passant par $F^{\prime }$) en un point ${\Phi }^{\prime }$, foyer image secondaire. Le rayon incident et le rayon auxiliaire sont parallèles : ils émergent en convergeant au même point du plan focal image. Le rayon émergent est donc la droite qui joint le point d'incidence sur la lentille à ${\Phi }^{\prime }$.

Seconde construction, par le plan focal objet. Le rayon incident coupe le plan focal objet (perpendiculaire à l'axe en $F$) en un point $\Phi$. Tous les rayons issus de $\Phi$ émergent parallèles entre eux ; parmi eux, le rayon $\Phi O$ n'est pas dévié. Le rayon émergent est donc la parallèle à $(\Phi O)$ menée par le point d'incidence. Les deux constructions donnent la même droite, ce qui est un bon contrôle sur une copie.

2) Divergente. Pour $f^{\prime }<0$, $F^{\prime }$ est avant la lentille et $F$ après : le plan focal image est du côté de la lumière incidente. Le rayon auxiliaire parallèle au rayon incident, passant par $O$, coupe ce plan en ${\Phi }^{\prime }$, en amont de la lentille. Les rayons parallèles entre eux émergent alors en divergeant comme s'ils venaient tous de ${\Phi }^{\prime }$ : le rayon émergent est la droite issue du point d'incidence, dans le prolongement de la droite qui joint ${\Phi }^{\prime }$ à ce point. On trace en pointillés le segment de ${\Phi }^{\prime }$ à la lentille, qui n'est pas parcouru par la lumière. Le point délicat : le foyer secondaire est virtuel, et c'est le prolongement en arrière de l'émergent qui passe par lui.

3) La focale convertit un angle. Tous les rayons du faisceau sont parallèles entre eux : ils convergent au foyer secondaire ${\Phi }^{\prime }$ du plan focal image, que localise le rayon passant par $O$, non dévié. Ce rayon fait l'angle $\alpha$ avec l'axe et parcourt la distance $f^{\prime }$ jusqu'au plan focal : il le coupe à la distance $f^{\prime }\tan \alpha \approx f^{\prime }\alpha$ de l'axe. Un objet à l'infini de diamètre apparent $\alpha$ a donc une image de taille $f^{\prime }\alpha$ dans le plan focal. Pour le Soleil : $$d=f^{\prime }\alpha =1,00\times 0,53\times \frac{\pi }{180}\approx 9,3\times 10^{-3}\mathrm{m}=9,3\mathrm{mm}.$$ Toute la lumière du Soleil collectée par la lentille est concentrée sur un disque de moins d'un centimètre : c'est la loupe qui enflamme une feuille. Homogénéité : un angle en radians est sans dimension, $f^{\prime }\alpha$ est une longueur.

4) Le phare. C'est la situation réciproque. Un point $P$ du plan focal objet, à la hauteur $y$, envoie des rayons qui émergent parallèles entre eux ; le rayon $PO$ n'est pas dévié et fixe leur direction, inclinée de $\tan \theta =y/f^{\prime }$, soit $\theta \approx y/f^{\prime }$. Les points du filament, de $-0,5$ à $+0,5\mathrm{cm}$ de l'axe, donnent des faisceaux parallèles inclinés de $-0,01$ à $+0,01\mathrm{rad}$ : le faisceau total a une divergence angulaire de $$\Delta \theta =\frac{1,0\times 10^{-2}}{0,50}=2,0\times 10^{-2}\mathrm{rad}\approx 1,1^{\circ }.$$ À $20\mathrm{km}$, sa largeur vaut environ $2,0\times 10^{-2}\times 2,0\times 10^4=400\mathrm{m}$ (la taille de la lentille, de l'ordre du mètre, est négligeable). Un phare n'envoie donc jamais un faisceau parfaitement parallèle : la divergence est fixée par la taille de la source rapportée à la focale. Si la lampe est écartée du foyer, le point central de la lampe n'est plus dans le plan focal objet : son image n'est plus à l'infini, le faisceau qu'il émet diverge (lampe entre $F$ et $O$) ou converge vers une image réelle avant de diverger (lampe au-delà de $F$) ; dans les deux cas le faisceau s'élargit plus vite et la portée chute.

Ce que l'exercice installe. Le plan focal est l'outil de construction de tout rayon, et il convertit une direction en position : $y=f^{\prime }\alpha$. Cette relation reviendra pour l'œil (taille de l'image rétinienne), l'appareil photographique (champ), la loupe et toute observation d'objets lointains.