Lentilles accolées, puis séparées

La stratégie. L'association n'est pas un instrument du programme : on la traite comme deux lentilles successives, l'image par la première servant d'objet à la seconde. Accolées, les deux relations de Descartes ont la même origine et s'additionnent. Séparées, on suit un rayon, ce qui exige d'abord la règle de déviation d'une lentille mince.

1) Accolées, les vergences s'ajoutent. Soit $A$ un point de l'axe et $A_1$ son image par la première lentille : $\frac{1}{\overline{O{A}_1}}-\frac{1}{\overline{OA}}=V_1$. $A_1$ sert d'objet (réel ou virtuel) à la seconde lentille, de même centre $O$, qui en donne $A^{\prime }$ : $\frac{1}{\overline{O{A}^{\prime }}}-\frac{1}{\overline{O{A}_1}}=V_2$. En additionnant membre à membre, $\overline{O{A}_1}$ disparaît : $$\frac{1}{\overline{O{A}^{\prime }}}-\frac{1}{\overline{OA}}=V_1+V_2.$$ C'est la relation de Descartes d'une lentille unique de vergence $V=V_1+V_2$, pour tout objet. Le point délicat : on a utilisé que $A_1$ peut être un objet virtuel pour la seconde lentille, ce qui est le cas général quand les lentilles sont accolées ; la relation de conjugaison vaut pour un objet virtuel comme pour un objet réel.

2) Le signe. Si $V_1>0$ et $V_2<0$, l'ensemble est convergent si et seulement si $V_1>|V_2|$, c'est-à-dire si la convergente a la plus courte focale. Les vergences, et non les focales, sont additives : c'est la raison pour laquelle les opticiens raisonnent en dioptries.

3) Mesurer une divergente. L'ensemble a $V=1/0,25=4,0\delta$, d'où $V_2=V-V_1=4,0-10=-6,0\delta$, et $f_2^{\prime }=1/V_2\approx -16,7\mathrm{cm}$. Une divergente seule ne donne d'un objet réel qu'une image virtuelle, qu'on ne peut pas recueillir sur un écran ; accolée à une convergente plus puissante, elle fait partie d'un système qui donne une image réelle, dont on mesure la focale par les méthodes habituelles.

4) Séparées : la relation de Gullstrand. La règle de déviation. Un rayon atteint la lentille à la hauteur $y$ avec l'inclinaison $u$ (petite). Le rayon auxiliaire parallèle passant par $O$ coupe le plan focal image à la hauteur $f^{\prime }u$. Le rayon étudié émerge vers ce foyer secondaire : partant de la hauteur $y$ sur la lentille pour atteindre la hauteur $f^{\prime }u$ à la distance $f^{\prime }$, il a l'inclinaison $$u^{\prime }=\frac{f^{\prime }u-y}{f^{\prime }}=u-\frac{y}{f^{\prime }}=u-yV.$$ Le rayon parallèle à l'axe. Il arrive sur $L_1$ à la hauteur $h$ avec $u=0$ : il en sort avec $u_1=-h{V}_1$. Il parcourt la distance $e$ et atteint $L_2$ à la hauteur $h_2=h+e{u}_1=h(1-e{V}_1)$. $L_2$ lui donne l'inclinaison finale $$u^{\prime }=u_1-h_2{V}_2=-h{V}_1-h(1-e{V}_1)V_2=-h(V_1+V_2-e{V}_1{V}_2).$$ Avec $V=-u^{\prime }/h$ : $$V=V_1+V_2-e{V}_1{V}_2.$$ Cas limite : $e=0$ redonne l'addition des vergences. Homogénéité : $e{V}_1{V}_2$ est une longueur fois deux inverses de longueur, soit des dioptries.

5) L'erreur de l'approximation « accolées ». Avec $V_1=10\delta$, $V_2=-6,0\delta$ et $e=0,005\mathrm{m}$ : $$V=10-6,0-0,005\times 10\times (-6,0)=4,0+0,30=4,3\delta ,$$ soit $7,5\%$ de plus que la valeur « accolée ». Un expérimentateur qui mesure $4,3\delta$ en croyant les lentilles accolées trouve $V_2=4,3-10=-5,7\delta$ au lieu de $-6,0\delta$ : une erreur relative de $5\%$, due à cinq millimètres d'écart seulement. Le terme correctif $e{V}_1{V}_2$ est petit devant $V_1$ et $V_2$ dès que $e$ est petit devant les focales ($e|V_1|=0,05$ ici), mais pas devant leur différence, quand les deux vergences se compensent en partie.

Ce que l'exercice installe. La méthode des conjugaisons successives, et la règle de déviation $u^{\prime }=u-yV$ d'une lentille mince, qui permet de suivre un rayon à travers n'importe quelle suite de lentilles. L'approximation « lentilles accolées » se chiffre : on sait désormais dire quand elle est légitime.