Newton et le grandissement longitudinal

La stratégie. Les triangles semblables de la construction donnent directement le grandissement exprimé depuis les foyers ; en égalant les deux expressions, on obtient Newton sans passer par Descartes. On dérive ensuite la relation de Newton, plus simple que celle de Descartes parce que $\overline{F^{\prime }{A}^{\prime }}$ y est l'inverse de $\overline{FA}$.

1) Les triangles semblables. Notons $I$ le point où le rayon parallèle à l'axe issu de $B$ frappe la lentille ($\overline{OI}=\overline{AB}$) et $J$ celui où le rayon issu de $B$ passant par $F$ la frappe ($\overline{OJ}=\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}$, puisqu'il émerge parallèle à l'axe et passe par $B^{\prime }$).

Côté objet : les triangles $FAB$ et $FOJ$ ont le sommet $F$ commun et des côtés $AB$ et $OJ$ parallèles (perpendiculaires à l'axe). Par Thalès, $\frac{\overline{OJ}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{FO}}{\overline{FA}}$, d'où, avec $\overline{OJ}=\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}$ et $\overline{FO}=f^{\prime }$ : $$\gamma =\frac{\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}}{\overline{AB}}=\frac{f^{\prime }}{\overline{FA}}.$$ Côté image : les triangles $F^{\prime }OI$ et $F^{\prime }{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ ont le sommet $F^{\prime }$ commun et des côtés parallèles : $\frac{\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}}{\overline{OI}}=\frac{\overline{F^{\prime }{A}^{\prime }}}{\overline{F^{\prime }O}}$, d'où, avec $\overline{OI}=\overline{AB}$ et $\overline{F^{\prime }O}=-f^{\prime }$ : $$\gamma =-\frac{\overline{F^{\prime }{A}^{\prime }}}{f^{\prime }}.$$ En égalant : $\frac{f^{\prime }}{\overline{FA}}=-\frac{\overline{F^{\prime }{A}^{\prime }}}{f^{\prime }}$, soit $\overline{FA}\cdot \overline{F^{\prime }{A}^{\prime }}=-f^{\prime 2}$. Les mesures algébriques rendent la démonstration valable pour toutes les positions, image réelle ou virtuelle.

2) Le grandissement longitudinal. $\overline{OA}=\overline{OF}+\overline{FA}$ et $\overline{O{A}^{\prime }}=\overline{O{F}^{\prime }}+\overline{F^{\prime }{A}^{\prime }}$, où $\overline{OF}$ et $\overline{O{F}^{\prime }}$ sont fixes : $\mathrm{d}\overline{OA}=\mathrm{d}\overline{FA}$ et $\mathrm{d}\overline{O{A}^{\prime }}=\mathrm{d}\overline{F^{\prime }{A}^{\prime }}$. Newton donne $\overline{F^{\prime }{A}^{\prime }}=-f^{\prime 2}/\overline{FA}$, d'où $$\frac{\mathrm{d}\overline{O{A}^{\prime }}}{\mathrm{d}\overline{OA}}=\frac{f^{\prime 2}}{{\overline{FA}}^2}={\gamma }^2.$$ Conséquences. Ce rapport est positif : l'objet et l'image se déplacent toujours dans le même sens le long de l'axe (quand l'objet s'approche de la lentille, une image réelle s'en éloigne). Et une petite profondeur $\Delta z$ de l'objet devient ${\gamma }^2\Delta z$, alors que les dimensions transversales sont multipliées par $|\gamma |$ : l'image d'un petit cube n'est pas un cube, sauf si $|\gamma |=1$. Elle est aplatie si $|\gamma |<1$, étirée si $|\gamma |>1$.

3) L'insecte. À $\gamma =-0,10$ : profondeur $0,10^2\times 5=0,05\mathrm{mm}$. À $\gamma =-1$ : $5\mathrm{mm}$, la même que l'objet (en régime linéarisé, $5\mathrm{mm}$ restant petit devant $f^{\prime }$). En photographie courante, l'image est très aplatie : toute la profondeur du sujet tient dans quelques centièmes de millimètre, c'est pourquoi un sujet lointain est net d'avant en arrière. En macrophotographie, la profondeur de l'image est aussi grande que celle du sujet : une partie seulement est nette sur le capteur.

4) La mise au point par Newton. Réglé sur l'infini, le capteur est en $F^{\prime }$. Pour un sujet en $A$, il faut le capteur en $A^{\prime }$, soit un tirage supplémentaire $\overline{F^{\prime }{A}^{\prime }}=-\frac{f^{\prime 2}}{\overline{FA}}$. Avec $\overline{FA}=\overline{OA}+f^{\prime }$ :

• sujet à $1,0\mathrm{m}$ : $\overline{FA}=-950\mathrm{mm}$, tirage $\frac{2500}{950}\approx 2,63\mathrm{mm}$ ;
• à $50\mathrm{cm}$ : $\overline{FA}=-450\mathrm{mm}$, tirage $5,56\mathrm{mm}$ ;
• à $25\mathrm{cm}$ : $\overline{FA}=-200\mathrm{mm}$, tirage $12,5\mathrm{mm}$.

L'objectif s'éloigne du capteur ($\overline{F^{\prime }{A}^{\prime }}>0$). Newton donne le résultat en une ligne, parce que la question porte précisément sur la distance de l'image au foyer image (le tirage) et que l'objet est repéré à partir du foyer objet. Descartes donnerait $\overline{O{A}^{\prime }}$, dont il faudrait retrancher $f^{\prime }$ — une soustraction de deux nombres voisins, source d'erreurs d'arrondi. Le tirage croît comme $1/|\overline{FA}|$ : diviser la distance par quatre multiplie le tirage par près de cinq, ce qui explique que la mise au point rapprochée exige une grande course de l'objectif et devienne très sensible.

Ce que l'exercice installe. La relation de Newton se démontre par deux paires de triangles semblables, et elle est l'outil naturel dès qu'on repère depuis les foyers : tirage, mise au point, position autour d'un foyer. Le grandissement longitudinal ${\gamma }^2$ explique pourquoi objet et image se déplacent dans le même sens et pourquoi une image est aplatie ou étirée.