Additivité des intensités : deux figures incohérentes

La stratégie. Des sources incohérentes ne donnent aucun terme d'interférence entre elles (exercice 1) : on calcule la figure de chacune, puis on ajoute les intensités. Le contraste de la somme se lit en la mettant sous la forme $\bar{I}(1+V\cos (\dots ))$.

1) Deux figures décalées. Les termes croisés entre $A$ et $B$ se moyennent à zéro ; $I=I_A+I_B$. La formule $\cos p+\cos q=2\cos \frac{p+q}{2}\cos \frac{p-q}{2}$ donne $$I=4I_0+2I_0[\cos \Delta \phi +\cos (\Delta \phi +\psi )]=4I_0[1+\cos \frac{\psi }{2}\cos (\Delta \phi +\frac{\psi }{2}\left)\right],$$ d'où $V=|\cos (\psi /2)|$. Cas limites : $\psi =0$, les franges coïncident, $V=1$ ; $\psi =\pi$, les franges brillantes de l'une tombent sur les franges sombres de l'autre : $V=0$, brouillage total, pour un décalage d'une demi-frange. Pour $\pi <\psi <2\pi$, $\cos (\psi /2)<0$ : des franges réapparaissent, mais les franges brillantes sont là où $A$ seule donnerait des franges sombres ; le contraste est inversé.

2) Intensités inégales. Décalées d'une demi-frange, $I=I_A(1+\cos \Delta \phi )+I_B(1-\cos \Delta \phi )=(I_A+I_B)+(I_A-I_B)\cos \Delta \phi$, donc $$V=\frac{|I_A-I_B|}{I_A+I_B}.$$ Le brouillage n'est total que si les deux figures ont la même intensité ; sinon la plus intense impose ses franges, avec un contraste réduit.

3) Deux raies. Les deux raies, émises par des atomes différents ou à des fréquences différentes, sont incohérentes entre elles : on additionne les intensités des deux figures. Pour la même différence de marche, $\Delta {\phi }_1=2\pi \delta /{\lambda }_1$ et $\Delta {\phi }_2=2\pi \delta /{\lambda }_2$ : on est dans la situation de la question 1 avec $$\psi =2\pi \delta (\frac{1}{{\lambda }_2}-\frac{1}{{\lambda }_1}),$$ qui dépend de $\delta$. Donc $V(\delta )=|\cos (\psi /2)|$ s'annule pour la première fois quand $|\psi |=\pi$, c'est-à-dire $${\delta }_1=\frac{1}{2|1/{\lambda }_1-1/{\lambda }_2|}=\frac{{\lambda }_1{\lambda }_2}{2({\lambda }_2-{\lambda }_1)}\approx \frac{{\lambda }^2}{2\Delta \lambda }.$$ Pour le doublet du sodium : ${\delta }_1=\frac{589,0\times 589,6}{2\times 0,6}\mathrm{nm}\approx 2,89\times 10^5\mathrm{nm}=0,289\mathrm{mm}$. Au-delà, le contraste renaît et s'annule à nouveau tous les $2{\delta }_1\approx 0,58\mathrm{mm}$ : ce sont les battements du contraste (anti-coïncidences).

On ne les voit qu'avec une source de grande longueur de cohérence, et la mesure de leur période donne l'écart $\Delta \lambda$ du doublet ; les chapitres sur les trous d'Young et l'interféromètre de Michelson en font une méthode de mesure.

Ce que l'exercice installe. Additivité des intensités : pour des sources incohérentes, on superpose les figures, jamais les amplitudes. Deux systèmes de franges décalés d'une demi-frange se brouillent ; c'est l'origine commune de toutes les pertes de contraste par une source étendue ou non monochromatique que l'on rencontrera, et le critère de brouillage s'écrira sur le décalage des ordres. Une lumière incohérente uniforme, qui ajoute son intensité sans franges, est l'objet de la question 4 du problème.