Le goniomètre à réseau : incidence oblique et minimum de déviation

La stratégie. Le réseau est un dispositif à $N$ ondes, dont le cours donne les maxima principaux, $\phi =2m\pi$ : il suffit de calculer le déphasage entre deux traits consécutifs, par le théorème de Malus. Pour la déviation minimale, on dérive à ordre fixé.

1) La relation fondamentale. Soient $S_1$ et $S_2$ deux traits consécutifs. Avant le réseau, l'onde est plane : ses surfaces d'onde sont des plans perpendiculaires aux rayons incidents (Malus), et deux points d'une même surface d'onde sont en phase. Menons par $S_1$ la surface d'onde incidente ; elle coupe le rayon qui va vers $S_2$ en $H$. Le rayon arrivant en $S_2$ a parcouru en plus $H{S}_2$, projection de $\overrightarrow{S_1{S}_2}$ sur la direction incidente : $a\sin {\theta }_i$. Après le réseau, on observe à l'infini dans la direction $\theta$, c'est-à-dire au foyer de la lunette ; par Malus, les plans perpendiculaires à cette direction sont des surfaces d'onde de l'onde émergente, et les chemins optiques de l'un d'eux au foyer sont égaux. Menons par $S_2$ ce plan ; il coupe le rayon issu de $S_1$ en $K$. Le rayon issu de $S_1$ parcourt en plus $S_{1}K=a\sin \theta$. La différence de marche entre les deux ondes vaut donc

$$\delta =(S_{1}K)-(H{S}_2)=a(\sin \theta -\sin {\theta }_i),$$

la même entre deux traits consécutifs quelconques : les $N$ ondes sont en progression arithmétique de phase, de raison $\phi =2\pi \delta /\lambda$. Les maxima principaux, $\phi =2m\pi$, sont atteints si et seulement si

$$a(\sin \theta -\sin {\theta }_i)=m\lambda ,m\in \mathbb{Z}.$$

En incidence normale, ${\theta }_i=0$ et l'on retrouve $a\sin \theta =m\lambda$. Le point délicat : les signes. Avec des angles orientés dans le même sens, l'ordre $0$ est la lumière non déviée, $\theta ={\theta }_i$, pour toutes les longueurs d'onde.

2) Le minimum de déviation. À $m$ fixé, $\sin \theta =\sin {\theta }_i+m\lambda /a$. En différentiant, $\cos \theta \mathrm{d}\theta =\cos {\theta }_i\mathrm{d}{\theta }_i$, donc

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}{\theta }_i}& =\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}{\theta }_i}-1\\ & =\frac{\cos {\theta }_i}{\cos \theta }-1.\end{array}$$

Cette dérivée s'annule si et seulement si $\cos \theta =\cos {\theta }_i$, soit $\theta =\pm {\theta }_i$. La solution $\theta ={\theta }_i$ est l'ordre $0$ ; pour $m\ne 0$, il reste $\theta =-{\theta }_i$ : la configuration symétrique, où le réseau est bissecteur des rayons incident et émergent. Alors $D_m=\theta -{\theta }_i=2\theta$ et $\sin \theta -\sin {\theta }_i=2\sin \theta$, d'où

$$2a\sin \frac{D_m}{2}=m\lambda .$$

Nature de l'extremum. En dérivant une seconde fois, avec $\mathrm{d}\theta /\mathrm{d}{\theta }_i=\cos {\theta }_i/\cos \theta$, on trouve au point symétrique $\frac{{\mathrm{d}}^{2}D}{\mathrm{d}{\theta }_i^2}=-2\tan {\theta }_i$. Pour $m>0$, $\theta =-{\theta }_i>0$, donc ${\theta }_i<0$ et la dérivée seconde est positive : c'est un minimum.

3) Application. $a=1/600\mathrm{mm}=1,667\mu \mathrm{m}$.

$$\sin \frac{D_m}{2}=\frac{546,1\times 10^{-9}}{2\times 1,667\times 10^{-6}}=0,1638,D_m=18,86^{\circ }.$$

En incidence normale, $\sin \theta =0,3277$, $\theta =D=19,13^{\circ }$ : plus grand, comme il se doit pour un minimum. L'écart n'est que d'un quart de degré : le minimum est plat.

4) L'intérêt expérimental. Au minimum, $\mathrm{d}D/\mathrm{d}{\theta }_i=0$ : une petite erreur sur l'orientation du réseau ne change $D$ qu'au second ordre. On n'a donc besoin ni de connaître ${\theta }_i$, ni de régler le réseau perpendiculairement au collimateur, opération délicate. Protocole : on suit la raie dans la lunette en tournant lentement la plate-forme ; la raie se déplace, s'arrête puis rebrousse chemin : on pointe la raie à ce point de rebroussement. On recommence de l'autre côté, à l'ordre $-1$ : l'angle entre les deux pointés vaut $2D_m$, sans qu'il faille repérer la direction non déviée.

5) L'incertitude. $\lambda =2a\sin (D_m/2)$ à l'ordre $1$, donc

$$\begin{array}{rl}u(\lambda )& =a\cos \frac{D_m}{2}u(D_m)\\ & =1,667\times 10^{-6}\times 0,986\times 2,91\times 10^{-4}\mathrm{m}\approx 0,5\mathrm{nm},\end{array}$$

avec $1^{\prime }=2,91\times 10^{-4}\mathrm{rad}$. Soit $10^{-3}$ en relatif : de quoi identifier les raies du mercure. Le pas $a$ du fabricant étant lui-même incertain, on l'étalonne d'abord sur une raie connue.

Ce que l'exercice installe. La relation fondamentale des réseaux s'établit en calculant la différence de marche entre deux motifs consécutifs, par le théorème de Malus, et le résultat du cours sur $N$ ondes fait le reste. Mesurer à un extremum rend la mesure insensible aux défauts de réglage : c'est le principe du minimum de déviation, que l'on retrouve avec le prisme.