Un CD, un DVD et un pointeur laser

La stratégie. Chaque piste renvoie une onde ; entre deux pistes consécutives, la différence de marche se calcule comme pour un réseau par transmission. Ensuite tout découle de $|\sin \theta |\le 1$ : il n'existe un ordre $m$ que si $|m|\lambda \le a$.

1) Le réseau par réflexion. Sous incidence normale, l'onde incidente atteint toutes les pistes en phase. Dans la direction $\theta$, l'onde renvoyée par une piste parcourt, jusqu'au plan d'onde perpendiculaire à cette direction, $a\sin \theta$ de plus que celle de la piste voisine (même construction qu'à l'exercice résolu 9). Les ondes sont en progression arithmétique de phase, et les maxima principaux sont donnés par $a\sin \theta =m\lambda$.

2) Le CD. $\lambda /a=0,65/1,6=0,406$.

• ordre $\pm 1$ : $\sin \theta =0,406$, $\theta =24,0^{\circ }$ ;
• ordre $\pm 2$ : $\sin \theta =0,813$, $\theta =54,3^{\circ }$ ;
• ordre $\pm 3$ : $\sin \theta =1,22>1$ : n'existe pas.

On voit cinq taches : l'ordre $0$, qui revient dans le trou, et les ordres $\pm 1$, $\pm 2$. Sur l'écran à $D=10\mathrm{cm}$, la tache d'ordre $m$ est à $D\tan \theta$ de l'axe : $10\times \tan 24,0^{\circ }\approx 4,4\mathrm{cm}$ et $10\times \tan 54,3^{\circ }\approx 13,9\mathrm{cm}$. Les taches ne sont pas équidistantes : c'est $\sin \theta$, et non $\theta$ ni $\tan \theta$, qui est proportionnel à $m$.

3) Le DVD. $\lambda /a=0,65/0,74=0,878$ : seul l'ordre $\pm 1$ existe, à $61,4^{\circ }$, et sa tache est à $10\times \tan 61,4^{\circ }\approx 18\mathrm{cm}$ de l'axe. Pour mesurer le pas d'un disque inconnu, on mesure la distance $x$ de la tache d'ordre $1$ à l'axe : $\sin \theta =x/\sqrt{x^2+D^2}$, puis $a=\lambda /\sin \theta$. Avec le CD : $x=4,45\mathrm{cm}$ donne $\sin \theta =0,406$ et $a=1,6\mu \mathrm{m}$. Le pas plus fin du DVD, deux fois plus de pistes par millimètre, est ce qui lui permet de stocker plus d'informations.

4) Le cas limite $a<\lambda$. Pour le Blu-ray, $\lambda /a=405/320=1,27>1$ : aucun ordre diffracté n'existe en incidence normale ; seul subsiste l'ordre $0$. Le disque se comporte comme un miroir. L'information n'a pas disparu : elle est simplement trop fine pour envoyer de la lumière ailleurs que dans la direction de réflexion. Sous incidence oblique, la relation $a(\sin \theta -\sin {\theta }_i)=m\lambda$ autorise $|\sin \theta -\sin {\theta }_i|$ jusqu'à $2$, donc des ordres pour $\lambda <2a=0,64\mu \mathrm{m}$ : éclairé et regardé sous incidence rasante, un Blu-ray montre encore des reflets colorés.

5) La lumière blanche. Chaque longueur d'onde est déviée selon $\sin \theta =m\lambda /a$ : à ordre fixé, le rouge est plus dévié que le violet, à l'inverse d'un prisme.

• ordre $1$ : de $\arcsin (0,40/1,6)=14,5^{\circ }$ à $\arcsin (0,75/1,6)=28,0^{\circ }$ ;
• ordre $2$ : de $30,0^{\circ }$ à $69,6^{\circ }$ ;
• ordre $3$ : à partir de $48,6^{\circ }$ pour le violet, jusqu'à $90^{\circ }$, atteint pour $\lambda =a/3=533\mathrm{nm}$ ; le reste de l'ordre $3$ n'existe pas.

L'ordre $1$ est isolé ; les ordres $2$ et $3$ se recouvrent entre $48,6^{\circ }$ et $69,6^{\circ }$. Cas général : l'ordre $m$ s'étend jusqu'à $\sin \theta =m{\lambda }_r/a$, l'ordre $m+1$ commence à $(m+1){\lambda }_v/a$. Ils se recouvrent si et seulement si $(m+1){\lambda }_v<m{\lambda }_r$, soit $m({\lambda }_r-{\lambda }_v)>{\lambda }_v$ :

$$m>\frac{{\lambda }_v}{{\lambda }_r-{\lambda }_v}=\frac{400}{350}\approx 1,14.$$

Pour le spectre visible, seul le premier ordre est pur : c'est lui qu'on utilise en spectroscopie de la lumière blanche. Homogénéité : le critère est un rapport de longueurs d'onde, indépendant du pas.

Ce que l'exercice installe. La relation fondamentale des réseaux et la contrainte $|\sin \theta |\le 1$ décident à elles seules des ordres présents : il faut $a>\lambda$ pour diffracter en incidence normale. À ordre fixé, le réseau disperse plus le rouge que le violet, et les ordres élevés se chevauchent.