Bulle de savon, vitre, lame de mica : la différence de marche face à ${\ell }_c$

La stratégie. Deux ondes issues de la même source ne peuvent interférer de façon stable que si leur différence de chemin optique reste inférieure à ${\ell }_c$ : au-delà, elles proviennent de trains d'onde différents, sans relation de phase. On calcule $\delta$ par le chemin optique, ${\ell }_c$ par ${\lambda }_0^2/\Delta \lambda$, et l'on compare.

1) La différence de marche dans une lame. L'onde réfléchie sur la face arrière a traversé la lame deux fois, à l'aller et au retour, sous incidence quasi normale : elle a parcouru en plus une longueur $2e$ dans un milieu d'indice $n$, d'où un supplément de chemin optique $\delta \approx 2ne$. (Sous l'incidence $i$, un calcul entre surfaces d'onde donnerait $2ne\cos r$ ; un calcul analogue sera fait pour l'interféromètre de Michelson.)

2) La lumière blanche. $${\ell }_c\sim \frac{{\lambda }_0^2}{\Delta \lambda }=\frac{(550\times 10^{-9}{)}^2}{300\times 10^{-9}}\approx 1,0\mu \mathrm{m},{\tau }_c=\frac{{\ell }_c}{c}\approx 3,4\mathrm{fs}.$$ Le nombre de longueurs d'onde contenues dans ${\ell }_c$ est ${\ell }_c/{\lambda }_0={\lambda }_0/\Delta \lambda \approx 1,8$ : moins de deux franges en lumière blanche.

3) Trois lames en lumière blanche.

• Bulle de savon : $\delta =2\times 1,33\times 300\times 10^{-9}\approx 0,80\mu \mathrm{m}<{\ell }_c$ : les deux ondes réfléchies interfèrent. Comme $\delta \sim {\lambda }_0$, certaines couleurs sont renforcées, d'autres éteintes, selon l'épaisseur locale : ce sont les irisations.
• Mica : $\delta =2\times 1,58\times 50\times 10^{-6}\approx 0,16\mathrm{mm}$, cent soixante fois ${\ell }_c$ : aucune interférence en lumière blanche, la lame est incolore.
• Vitre : $\delta =2\times 1,50\times 3,0\times 10^{-3}=9,0\mathrm{mm}$, neuf mille fois ${\ell }_c$ : jamais d'irisation. Les deux ondes proviennent de trains différents ; leurs intensités s'additionnent.

4) L'expérience de Pohl. Avec la raie du mercure, ${\ell }_c\approx 6\mathrm{cm}$ : pour le mica, $\delta =0,16\mathrm{mm}\ll {\ell }_c$ ; les deux ondes réfléchies sont issues du même train et interfèrent. La lampe étant petite, chaque direction de réflexion correspond à un angle d'incidence, donc à une valeur de $\delta$ : on observe des anneaux sur les murs. En lumière blanche, $\delta \gg {\ell }_c$ : rien. Mais pour la vitre, $\delta =9,0\mathrm{mm}$ est aussi inférieur à $6\mathrm{cm}$, et l'on ne voit pas d'anneaux en regardant une lampe à mercure à travers une fenêtre : la condition $\delta <{\ell }_c$ est nécessaire, pas suffisante. L'étendue de la source intervient aussi : ce sera l'objet des chapitres suivants.

5) Le nombre de franges. ${\delta }_{\max }\sim {\ell }_c=2,0\mathrm{cm}$, et le nombre de franges est au plus $$N\sim \frac{{\ell }_c}{{\lambda }_0}=\frac{2,0\times 10^{-2}}{5,0\times 10^{-7}}=4,0\times 10^4.$$ En général, $N\sim {\ell }_c/{\lambda }_0={\lambda }_0/\Delta \lambda$ : de l'ordre de $2$ en lumière blanche, $10^5$ pour la raie verte du mercure, près de $10^9$ pour un laser stabilisé.

Ce que l'exercice installe. On calcule une différence de marche par le chemin optique ($2ne$ pour une lame) et on la compare à ${\ell }_c={\lambda }_0^2/\Delta \lambda$ : $\delta <{\ell }_c$ est une condition nécessaire d'interférence. Le nombre de franges visibles est de l'ordre de ${\lambda }_0/\Delta \lambda$. Ce critère deviendra, aux chapitres suivants, le critère de brouillage par l'ordre d'interférence.